2.1 장주설계를 위한 유효강성

기둥 유효강성 $EI$는 2차효과에 의해 증가된 모멘트를 계산하기 위한 모멘트확대계수(moment magnification factor) 산정에 사용된다. $EI$는 모멘트-곡률 곡선상에서 원점과 한 점을 잇는 직선의 기울기로 정의되며, 이때 $EI$ 산정의 기준점은 하중조건과 파괴모드에 따라 다음과 같이 다르다^{(Wight and MacGregor 2012)}. Fig. 2(a)는 세장한 기둥에서 나타날 수 있는 파괴모드를 보여준다. 압축 축하중이 지배적인 기둥 A에서는 2차효과에 의한 모멘트 증가가 제한적이며, 일반적으로 콘크리트 압괴에 의한 재료파괴가 발생한다. 이러한 기둥에서 $EI$는 Fig. 2(b)에서 보듯이 파괴점 A에서 정의한다. 반면, 휨이 지배적인 기둥 B에서는 2차효과에 의한 횡변형 증가가 커서 안정성파괴가 발생할 수 있다. 이 경우 기둥 B의 $EI$는 항복 이전의 유효강성을 사용하는 것이 적절하다.

이러한 기둥 유효강성은 압축지배 또는 인장지배 거동모드에 따라 다음과 같은 특성을 갖는다(Fig. 3).

∙ Zone 1: 전체 기둥 단면에 압축의 응력과 변형률이 작용하는 압축지배 기둥으로서, $EI$는 주로 콘크리트 재료특성에 의해 지배되고 철근의 영향은 제한적이다. 응력이 압축강도($f_{ck}$)에 가까워질수록 콘크리트 탄성계수가 감소하므로, Zone 1에서 $EI$는 압축하중이 증가할수록 감소한다^{(Lee 1992; Khuntia and Ghosh 2004b)}.

∙ Zone 2: 인장측에서 콘크리트 균열이 발생하지만, 철근은 아직 항복에 도달하지 않는 기둥으로서, $EI$는 균열에 의한 콘크리트 유효면적 감소, 압축력에 의한 균열 억제, 인장측의 철근 저항 등의 영향을 받는다.

∙ Zone 3: 인장측에서 철근이 항복에 도달하는 인장지배 기둥으로서, $EI$는 콘크리트 균열단면과 철근의 인장저항에 의해 지배된다. 이러한 휨항복 기둥에서 $EI$는 항복상태에 해당하는 유효강성으로 정의되며(Fig. 2(b)의 기둥 B), 작용하는 압축력이 커질수록 증가하는 경향을 보인다^{(Eom et al. 2022; ASCE 2023; AIK 2024)}.

Fig. 2 Second-order effects and effective stiffness in slender columns

Fig. 3 Strain distributions across column section depending on load conditions

이러한 기둥 유효강성을 실무설계에 정확히 고려하는 것은 쉽지 않다. 그 대신, 설계기준^{(CEN 2004; KCI 2022; ACI 2025)}에서는 간편한 유효강성 모델을 제공한다. KDS 14 20 20^{(KCI 2022)} 및 ACI 318-25^{(ACI 2025)}의 경우, 기둥의 모멘트 확대 설계에는 다음 유효강성이 사용된다.

여기서, $E_{c}$ =콘크리트 탄성계수, $I_{g}$ =콘크리트 단면의 단면2차모멘트, $E_{s}$ =철근 탄성계수, $I_{se}$ =콘크리트 단면의 중심축에 대한 철근의 단면2차모멘트이다. Eurocode 2의 기둥 유효강성 또한 $EI_{1}$ 및 $EI_{2}$과 유사하다.

콘크리트만의 기여를 고려하는 $EI_{1}$은 작은 편심률과 높은 축하중비에 해당하는 Zone 1의 기둥 강성으로 간주할 수 있다. 이를 단순화한 $EI_{2}$는 철근의 강성 기여를 포함하고 있지만, 여전히 정확도가 높지 않다. $EI_{1}$과 $EI_{2}$는 계산이 간편하여 실무에 사용하기 편리하지만, 압축하중, 편심률 등이 기둥 강성에 미치는 영향을 정확히 고려하지 못하며 전체적으로 기둥 강성을 저평가하는 경향을 보인다^{(Mirza 1990; Mehanny et al. 2001; Khuntia and Ghosh 2004a}, ^2004b).

$EI_{1}$ 및 $EI_{2}$와는 별도로, ACI 318-25에서는 하중조건과 철근상세의 영향을 고려할 수 있는 $EI_{KG}$을 장주설계에 사용하도록 허용한다^{(Khuntia and Ghosh 2004b; ACI 2025)}.

여기서, $A_{st}$=철근 단면적, $A_{g}$=콘크리트 단면적, $P_{u}$및 $M_{u}$=기둥에 작용하는 압축하중 및 모멘트, $h$=기둥 단면의 높이, $P_{o}$=기둥 단면의 최대압축강도($=0.85f_{ck}\left[A_{g}-A_{st}\right]+f_{y}A_{st}$)이다.

단면해석으로 구한 Fig. 4(a)의 모멘트-곡률 관계로부터 도출된 유효강성인 $EI_{KG}$는 철근면적($A_{st}$)이 크면 증가하고, 압축하중($P_{u}$), 모멘트($M_{u}$), 및 편심률($M_{u}/[P_{u}h]$)이 크면 감소한다. $EI_{KG}$는 $0.35E_{c}I_{g}$와 $0.875E_{c}I_{g}$를 각각 하한 및 상한으로 가지며, 일반적으로 $EI_{1}$ 및 $EI_{2}$보다 더 크다.

Fig. 4 Effective stiffnesses of columns for structural analysis

2.2 구조해석을 위한 유효강성

설계기준^{(CEN 2004; KCI 2022; ACI 2025)}에서는 극한하중(계수하중)과 사용하중에 대한 구조해석에서 서로 다른 유효강성을 사용한다. 구체적으로, 극한하중과 사용하중에 대하여 각각 $0.7E_{c}I_{g}$와 $E_{c}I_{g}$ (즉, $0.7E_{c}I_{g}$의 1.4배)가 기둥 유효강성으로 구조해석에 사용된다. 극한하중에 사용되는 $0.7E_{c}I_{g}$는 강성감소계수($\phi_{K}=0.875$)가 포함된 값으로, 이를 제외할 경우 기둥의 실질적인 유효강성은 $0.8E_{c}I_{g}$로 볼 수 있다. 이와는 별도로, ACI 318-25은 구조해석을 위한 기둥의 대안 유효강성으로서 식 (3)의 $EI_{KG}$를 채택하고 있다. 모멘트-곡률 관계로부터 도출된 $EI_{KG}$는 균일한 모멘트를 받는 기둥의 유효강성에 해당한다(Fig. 4(a)).

한편, 지진하중에 대한 해석에는 다음 유효강성이 기둥에 사용된다^{(Eom et al. 2022; ASCE 2023; AIK 2024)}.

여기서, $l_{s}$ =기둥의 유효경간(즉, 층고의 1/2)이다. $EI_{ASCE}$와 $EI_{AIK}$에서 압축하중($P_{u}$)은 휨균열을 억제하여 강성을 증가시킨다.

Fig. 4(b)에서 보듯이 항복점의 횡강성($K_{y}$)으로부터 정의되는 $EI_{ASCE}$와 $EI_{AIK}$는 기둥 횡하중 실험에 근거하여 제안된 부재 강성으로, 삼각형의 모멘트 분포에 대한 평균강성에 해당한다. 단면강성은 균열 및 손상이 집중되는 하부 소성힌지 영역에서 가장 작으며, 그 이외의 영역에서는 균열이 감소하여 단면강성이 더 크다. $EI_{AIK}$에 포함된 $l_{s}/h$는 기둥 길이에 걸친 강성 분포의 영향을 반영한다^{(Eom et al. 2022)}.

2.3 유효강성 비교

기둥 유효강성은 장주설계의 안전성을 위하여 보정된 간편모델($EI_{1}, EI_{2}$)과 구조해석시 실제 거동 모사를 목적으로 평균값으로 제안된 대안모델($EI_{KG}, EI_{ASCE}$)로 구분할 수 있다. 간편모델인 $EI_{1}$와 $EI_{2}$는 압축하중에 관계없이 의도적으로 저평가된 유효강성값을 일률적으로 사용한다^{(Khuntia and Ghosh 2004a)}. 대안모델인 $EI_{KG}$와 $EI_{ASCE}$ (또는 $EI_{AIK}$)는 압축하중에 따른 유효강성의 변화를 고려한다는 점에서 같지만, 그 경향은 정반대이다. 압축하중비($P_{u}/P_{o}$)가 증가하면 $EI_{KG}$는 감소하지만 $EI_{ASCE}$는 오히려 증가한다. Fig. 5에서 보듯이 $P_{u}/P_{o}\le 0.5$에서는 $EI_{KG}$가 $EI_{ASCE}$보다 대체로 크고, $P_{u}/P_{o}>0.5$에서는 $EI_{KG}$가 $EI_{ASCE}$보다 대체로 작다.

이러한 차이는 $EI_{KG}$와 $EI_{ASCE}$의 제안 배경이 다르기 때문이다. $EI_{KG}$는 압축하중과 모멘트가 동시에 증가하는 비례하중을 받는 기둥의 강성이다(Fig. 4(a)). 이 경우, 증가하는 압축하중은 압축대에서 콘크리트의 비선형성을 높여 강성을 줄이고, 증가하는 모멘트는 인장대에서 균열을 증가시켜 역시 강성을 줄인다. 이와 달리, $EI_{ASCE}$는 고정된 압축하중을 받는 기둥에 대한 횡하중 실험으로부터 도출된 유효강성이다(Fig. 4(b)). 이 경우, 압축하중은 균열의 발생과 진전을 억제시켜 기둥의 강성을 증가시킨다.

설계기준에서 사용하는 압축부재의 강도감소계수($\phi=0.65$)와 압축강도 최댓값 제한($P_{n,\max}=0.8P_{o}$)을 고려하면, 기둥의 실질적인 압축하중비는 0.52 이하이다($P_{u}/P_{o}\le 0.52$). 이 경우 $EI_{KG}$가 $EI_{ASCE}$보다 크며, 실무에서 주로 사용되는 $EI_{1}$ ($=0.4E_{c}I_{g}$)보다 더 큰 값이다.

Fig. 5 Comparison of alternative effective stiffness models with respect to axial load ratio

3.1 해석 방법

기하비선형을 고려하는 2차해석은 반복계산을 수반하는 증분해석이므로, 수계산이 불편하다. 이 연구에서는 유효강성($EI$)과 모멘트확대계수($\delta_{ns}$)를 사용한 선형해석으로 2차효과를 고려할 수 있는 유효강성해석(effective stiffness analysis) 방법을 제안하였다.

Fig. 6은 균일한 압축하중과 모멘트를 받는 횡구속 기둥에 대한 유효강성해석의 개념을 보여준다. 2차효과에 의해 증가된 기둥의 횡변위($\Delta_{c}$)와 모멘트($M_{c}$)는 $EI$와 $\delta_{ns}$를 사용하여 다음 식 (5)~(8)과 같이 구한다.

여기서, $\Delta_{o}$ 및 $M_{o}$ =1차해석에 의한 기둥 중앙의 횡변위와 모멘트, $C_{m}$ =모멘트 분포의 영향을 고려하는 계수, $P_{c}$ =기둥의 임계좌굴하중, $l$ =기둥의 비지지길이이다. Fig. 6(a)에서 보듯이 1차모멘트 $M_{o}$ ($=Pe$)가 전체 길이에 걸쳐 일정하므로, 기둥 중앙부에서 $\Delta_{o}$는 $M_{o}l^{2}/[8EI]$이며 $C_{m}$은 1.0을 사용한다. 간편한 계산을 위하여 Fig. 6(b)에서 2차모멘트($M_{c}-M_{o}$) 분포를 삼각형으로 가정하였으며, 이에 따라 식 (6)에서 2차모멘트에 의한 변형 증분은 $(M_{c}-M_{o})l^{2}/[12EI]$로 계산하였다. 참고로, 실제 기둥의 2차모멘트 분포는 사인(sine) 곡선에 가까워 삼각형 분포로 가정할 경우 변형이 과소평가되지만, 전체 변형에서 2차변형이 차지하는 비중은 크지 않으므로 식 (6)은 실무적인 근사해로 유효하다.

증분해석 및 반복계산이 필요한 전통적인 기하비선형해석과 달리, 제안된 유효강성해석은 $EI$가 원점을 잇는 할선강성(secant stiffness)이므로 증분해석이 불필요하다. Fig. 6(c)에서 주어진 압축하중 $P_{1}$에 대하여 1차모멘트 $P_{1}e$ ($=M_{o1}$)를 산정하고, 압축하중비 $P_{1}/P_{o}$로부터 유효강성 $EI$를 결정한다. 그다음, 식 (5)~(8)을 사용하여 2차효과에 의해 증가된 기둥의 횡변위($\Delta_{c1}$)와 모멘트($M_{c1}$)를 산정한다. 새로운 압축하중 $P_{2}$에 대해서도 2차효과에 의해 증가된 변위와 모멘트를 동일한 방법으로 산정한다.

Fig. 6 Approximate second-order analysis for slender columns: effective stiffness analysis

3.2 검증

검증을 위하여, 유효강성해석을 구한 기둥 실험체^{(Green and Breen 1969; Lloyd and Rangan 1996; Jenkins 2011)}의 하중-변형($P$-$\Delta$) 곡선과 하중-모멘트($P$-$M$) 곡선을 실험 및 비선형해석 결과와 비교하였다. 유효강성해석에서는 실험체별로 최대하중($P_{u}$)을 등분하여 20단계의 목표하중($P_{1}, \cdots, P_{20}$)을 생성하고 각 하중 단계마다 식 (5)~(8)을 사용하여 2차효과가 고려된 기둥 중앙의 횡변위($\Delta_{c}$)와 모멘트($M_{c}$)를 구하였다. 유효강성으로는 압축하중, 철근량 및 편심률에 따라 그 크기가 변하는 식 (3)의 $EI_{KG}$가 사용되었다. 장주 압축실험은 민감한 실험이므로, 재하 및 계측의 불확실성이 실험 결과에 영향을 미칠 수 있다. 이를 보완하기 위하여, 기하비선형 및 재료비선형을 고려한 비선형해석을 추가로 수행하였다. 비선형해석에는 Perform-3D^{(CSI 2025)}의 파이버요소가 사용되었으며, 모델링 방법은 부록을 참고한다.

Fig. 7은 해석과 실험으로부터 구한 기둥의 $P$-$\Delta$ 곡선과 $P$-$M$ 곡선을 비교하여 보여준다. Fig. 7(a)에 나타낸 정사각형 기둥에서는 실험, 비선형해석 및 유효강성해석에 의한 기둥 응답이 잘 일치하였다. 비선형해석 및 유효강성해석 모두에서 2차효과에 의한 기둥의 변형 및 모멘트 증가가 비교적 정확하게 예측되었다. 반면 Fig. 7(b)에 나타낸 직사각형 기둥의 경우, II-A에서는 해석에 의한 2차효과가 실험보다 컸고 II-B 및 II-C에서는 해석에 의한 2차효과가 실험보다 작았다. 그 이유는 다음과 같이 설명할 수 있다.

∙ 실험체 II-A에서는 실험에 의한 초기강성이 비선형해석 및 유효강성해석 값보다 훨씬 크다(Fig. 7(b1)). 다른 실험체들에서 실험과 비선형해석 결과가 잘 일치하는 점을 감안할 때, 이러한 차이는 변위 측정 과정에서 발생할 수 있는 불가피한 오차에 기인한 것으로 판단된다. 유효강성해석에 의한 기둥 응답은 실험보다는 비선형해석 결과와 잘 일치하였다.

∙ 실험체 II-B 및 II-C에서는 유효강성해석에 의한 2차효과가 비선형해석 및 실험에 의한 것보다 크게 저평가되었다. 이는 다른 기둥에서 유효강성해석 및 비선형해석에 의한 2차효과가 잘 일치한 것과 대비된다. 이는 유효강성해석에 사용된 $EI_{KG}$가 직사각형 기둥에서 과평가되기 때문으로 판단된다. 구체적으로, Fig. 8에서 보듯이 직사각형 기둥에서는 $\gamma$가 감소하여 철근이 단면 중앙에 가깝게 배치되므로 유효강성에 대한 철근의 기여가 동일한 단면의 정사각형 기둥과 비교하여 상대적으로 작다. 하지만, 식 (3)의 $EI_{KG}$에서는 이러한 철근 배치의 영향이 고려되지 못한다.

Fig. 7 Verification of effective stiffness analysis: analyses versus tests

Fig. 8 Steel contribution in square and rectangular columns

4.1 하중-변형 관계

Fig. 9는 유효강성해석으로 구한 $P$-$\Delta$ 곡선을 실험 결과와 비교한 것이다. 가력 및 측정의 불확실성도 함께 검토할 수 있도록 비선형해석 결과도 함께 나타냈다. 대비를 위하여, 구조해석용 유효강성인 $0.35E_{c}I_{g}$ (보)와 $0.7E_{c}I_{g}$ (기둥)을 적용한 유효강성해석 결과를 음영으로 나타냈다. 대부분의 실험체에서 실험곡선(원형 표식)은 대체로 비선형해석(회색 실선)과 잘 일치하였다. 다만, (d) II-A, (h) S3, (j) S7, (n) S8 등에서는 실험곡선의 초기강성이 비선형해석보다 훨씬 큰데, 이는 측정의 불확실성에 의한 것으로 판단된다. 이 기둥들에 대해서는 비선형해석 결과와의 비교를 통해 유효강성해석의 적정성을 평가하였다. 유효강성별 하중-변형 관계의 비교 결과는 다음과 같다.

∙ 대부분의 기둥에서 실험 초기거동은 $0.7E_{c}I_{g}$를 적용한 유효강성해석 결과와 유사했다. 이는 구조해석을 위한 기둥 유효강성으로 $0.7E_{c}I_{g}$가 적합함을 보여준다. 다만, 편심률($e/h$)이 0.3보다 큰 직사각형 기둥인 (e) II-B와 (f) II-C의 실험 초기거동은 $0.35E_{c}I_{g}$ 해석에 더 가까웠다.

∙ $EI_{KG}$를 적용한 유효강성해석(붉은색 실선)은 전반적으로 $0.7E_{c}I_{g}$ 해석보다 강성이 더 컸다. 이는 식 (3)으로부터 산정된 $EI_{KG}$ ($\le 0.875E_{c}I_{g}$)가 $0.7E_{c}I_{g}$보다 더 크기 때문이다. 실험 또는 비선형해석 결과와 비교할 때, $EI_{KG}$ 해석은 하중이 작은 초기거동을 정확히 예측하지만 하중이 증가하여 재료파괴에 가까워지면서 기둥의 변형을 크게 저평가하는 경향을 보였다. 편심률이 $e/h\ge 0.3$이고 직사각형 단면을 갖는 기둥인 (e) II-B와 (f) II-C의 경우, $EI_{KG}$ 해석은 초기거동에서도 기둥의 2차효과를 과소평가하였다.

∙ $EI_{ASCE}$를 적용한 유효강성해석(파란색 실선)은 유효강성 최댓값이 $0.7E_{c}I_{g}$로 제한되므로 $EI_{KG}$ ($\le 0.875E_{c}I_{g}$) 해석보다 강성이 작은 하중-변형 곡선을 보였다. 대부분의 기둥에서 $EI_{ASCE}$ 해석은 $0.7E_{c}I_{g}$ 해석과 유사하였지만, 편심률이 큰 기둥((e) II-B, (f) II-C, (o) S9, (p) S10)에서는 $0.35E_{c}I_{g}$ 해석에 더 가까웠다. 실험 및 비선형해석 결과와 비교할 때, $EI_{ASCE}$ 해석은 초기거동에서 2차효과에 의한 기둥 변형을 과대평가하였고, 하중이 증가하여 재료파괴에 가까워지면 기둥 변형을 오히려 과소평가하였다.

Fig. 9 Comparison of load-deformation curves

4.2 축력-모멘트 관계

Fig. 10은 유효강성해석으로 구한 $P$-$M$ 곡선을 실험 및 비선형해석 결과와 비교한 것이다. 비교를 위하여, ACI 318-25의 등가응력블록을 사용하여 계산한 기둥 단면의 PM 상관도($P_{n}$-$M_{n}$ yield line)를 그림에 나타냈다. I-A, I-B, I-C, II-A, II-B, II-C의 경우, 실험곡선(원형 표식)이 PM 상관도와 교차하는데, 이는 해당 기둥들이 공칭강도를 발휘한 상태에서 파괴되었음을 의미한다^{(Lloyd and Rangan 1996)}. 반면, S1~S10의 경우, 재료파괴에 도달하기 이전에 실험이 종료되어 실험곡선이 PM 상관도 내부에서 위치한다^{(Green and Breen 1969)}. (Fig. 10(g)~(p)의 점선 원 참조) S1~S10의 파괴시점은 비선형해석에 의한 $P$-$M$ 곡선(회색 실선)이 PM 상관도와 교차하는 시점을 통해 추정할 수 있다. Fig. 10에서 각 유효강성으로 예측된 장주의 압축하중-모멘트 관계는 다음과 같은 결과를 보였다.

∙ 2차효과에 의한 기둥 모멘트의 증폭은 $0.7E_{c}I_{g}$와 $0.35E_{c}I_{g}$에 대한 유효강성해석으로 구한 $P$-$M$ 곡선을 각각 상한과 하한으로 갖는 음영 영역의 크기로 표현된다. 이에 따르면, 2차효과에 의한 기둥 모멘트 증폭은 정사각형 기둥보다는 직사각형 기둥에서 더 컸고(I-A, I-B, I-C와 II-A, II-B, II-C 비교), 동일한 기둥이라도 편심률($e/h$)과 압축하중이 큰 경우에 더 컸다.

∙ $P$-$M$ 실험곡선(원형 표식)은 편심률이 $e/h<0.3$인 기둥에서는 $0.7E_{c}I_{g}$ 해석에 가깝고, 편심률이 $e/h\ge 0.3$인 (e) II-B, (f) II-C, (o) S9, (p) S10에서는 $0.35E_{c}I_{g}$ 해석에 가까웠다.

∙ 실험 결과와 비교할 경우, $EI_{KG}$ 및 $EI_{ASCE}$를 적용한 유효강성해석은 대체로 실험곡선과 잘 일치하였다. 하지만, 편심률이 0.3 이상인 (e) II-B, (f) II-C, (o) S9, (p) S10의 경우, $EI_{KG}$ 해석은 2차효과에 의한 기둥 모멘트 증가를 저평가하였다.

∙ 비선형해석(회색 실선) 결과와 비교할 경우, $EI_{KG}$ 및 $EI_{ASCE}$를 사용한 유효강성해석은 하중이 작은 초기거동에서 2차효과에 의한 모멘트 증가를 정확히 예측하지만 하중이 증가하여 PM 상관도에 가까워지면 기둥 모멘트를 저평가하는 경향을 보였다. 이러한 경향은 S1~S10 기둥에서 두드러지게 나타났다.

Fig. 10 Comparison of axial load-moment curves

4.3 모멘트확대계수

Table 2는 유효강성 $EI_{1}$, $EI_{2}$, $EI_{KG}$ 및 $EI_{ASCE}$에 대하여 식 (7)을 사용하여 산정한 모멘트확대계수($\delta_{ns}^{pred}$)를 보여준다. $\delta_{ns}^{pred}$의 산정에는 Fig. 10에서 비선형해석에 의한 $P$-$M$ 곡선이 재료파괴에 의한 단면저항강도인 PM 상관도와 교차하는 점의 압축하중을 $P_{u}$ (붉은색 수평 점선)로 사용하였다. 산정된 $\delta_{ns}^{pred}$ 값들은 Fig. 11에서 비선형해석에 의한 모멘트확대계수($\delta_{ns}^{NA}$)와 비교되었는데, $\delta_{ns}^{NA}$는 비선형해석에 의한 $P$-$M$ 곡선으로부터 구하였다(Table 2 주석 2) 참조). 이처럼 실험이 아닌 비선형해석에 의한 $\delta_{ns}^{NA}$를 사용한 이유는 실험데이터에 포함된 측정의 불확실성을 배제하고, 설계에서 가정하는 극한한계상태에서의 모멘트 확대를 비교하기 위해서이다. 각 유효강성에 의한 모멘트확대계수의 비교 결과는 다음과 같다.

∙ 현행 설계기준의 $EI_{1}$과 $EI_{2}$는 Fig. 11(a)~(c)에서 보듯이 2차효과에 의한 기둥 모멘트 확대를 실제보다 과대평가하였다. $\delta_{ns}^{NA}<2.5$에서는 $EI_{1}$과 $EI_{2}$에 대한 [$\delta_{ns}^{pred}/\delta_{ns}^{NA}$] 평균이 각각 1.13과 1.25로서 유효강성에 의한 $\delta_{ns}^{pred}$가 비선형해석으로 구한 $\delta_{ns}^{NA}$보다 약간 크게 평가되었다. $\delta_{ns}^{NA}>2.5$에서는 [$\delta_{ns}^{pred}/\delta_{ns}^{NA}$]=2.54~6.63으로 2차효과에 의한 기둥 모멘트 확대가 과대평가 되었다. 압축하중비가 큰 II-A와 S3의 경우에는, 식 (7)의 분모에 사용된 [$P_{u}/P_{c}$]가 1.0보다 커 $\delta_{ns}^{pred}$를 결정할 수 없었다(Table 2의 주석 참조).

∙ 대안 유효강성인 $EI_{KG}$와 $EI_{ASCE}$는 Fig. 11(a)와 (d)~(e)에서 보듯이 $\delta_{ns}^{NA}$가 증가함에 따라 기둥의 모멘트 확대를 저평가하는 경향을 보였다. $\delta_{ns}^{NA}<2.5$에서는 $EI_{KG}$와 $EI_{ASCE}$에 대한 [$\delta_{ns}^{pred}/\delta_{ns}^{NA}$]의 평균이 각각 0.82와 0.88로서 유효강성에 의한 $\delta_{ns}^{pred}$가 비선형해석으로 구한 $\delta_{ns}^{NA}$보다 약간 작았다. $\delta_{ns}^{NA}>2.5$에서는 [$\delta_{ns}^{pred}/\delta_{ns}^{NA}$]=0.51~0.75로서 2차효과에 의한 기둥 모멘트 확대가 지나치게 저평가되었다.

Fig. 11 Comparison of moment magnifiers