2.1 실험 개요

준정적 하중 조건에서 콘크리트의 균열 선단 위치를 측정하기 위해 삼점휨시험을 실시하였다. 우선, 최종 파괴까지 진행한 1차 실험을 통해, 하중-균열 입구변위 관계를 측정하였다. 측정된 CMOD 값을 바탕으로 세 가지의 하중 단계를 설정하고, 부분 파괴 실험을 통해 세 단계의 균열 진전 실험을 수행하였다. 각 하중 단계에 3개씩, 총 9개의 시편을 제작하였다.

콘크리트 배합은 물–시멘트비 0.42를 적용하여 목표 압축강도 36.5 MPa로 설계하였으며, 세부 배합비는 Table 1에 정리하였다. 콘크리트의 주요 재료 물성인 압축강도, 간접인장강도 및 탄성계수는 Ø100×200 mm 원주형 공시체를 제작하여 해당 물성값을 측정하였다(Table 2). 프리즘 형태 보의 크기는 350×63×80 mm이며, 보의 중앙부에서 수직 균열 전파를 유도하기 위해 하부 중앙에 높이 21 mm의 초기 균열을 생성하였다.

삼점휨시험에서 지간은 250 mm이며, 시편의 중앙부에 하중을 가하였으며, 해당 경계조건을 Fig. 1에 제시하였다. MTS 810 만능시험기를 이용하여 실험을 수행하였으며, 클립형 변위계(clip-on gauge) 속도가 0.01 mm/min이 되도록 closed-loop 제어 방식으로 수행하여 최대하중 이후의 거동을 정밀하게 계측하였다. 클립형 변위계로 측정한 변위를 이용하여 균열 입구변위값을 계산하였다. 최종 파괴 시까지의 1차 실험결과 최대변위에서의 평균 CMOD는 약 0.063 mm으로 측정되었으며, 이를 바탕으로 3개의 하중 조건을 CMOD 값이 각각 0.06 mm, 0.12 mm, 0.24 mm에 도달하는 수준으로 정하여 실험을 수행하였다. 각 하중 조건에 따른 하중–CMOD 응답 곡선은 Fig. 2에 제시하였다.

Fig. 1 Geometry and boundary conditions of the three-point bending test specimen

2.2 이미지 기반 실험 균열 길이 계측

세 개의 하중 단계(CMOD=0.06, 0.12, 0.24 mm)에서의 균열 선단 위치를 측정하기 위해, 시험체 표면의 영상 정보를 활용하였다. 균열 진전 방향의 불확실성을 고려하기 위해, 각 시험체의 전면과 후면에서 영상 정보를 얻었다. 영상장비는 Canon EOS 5Ds와 Ef 180 mm f/3.5L Macro USM 렌즈를 사용하였으며, 영상의 공간 해상도는 약 0.0054 mm/pixel과 0.0064 mm/pixel로 사용되었다. 대표적인 시험체 사진과 균열 선단의 위치를 Fig. 3에 제시하였다.

시험체 사진에서 균열 선단 위치를 정량적으로 결정하기 위해, MATLAB의 국소 분산 기반 임계값(local variance-based thresholding) 기법을 적용하여 균열 영역을 배경으로부터 분리하였다. 각 픽셀의 3×3 이웃 영역 내 화소 강도의 표준편차를 계산하고, 이 값이 설정된 임계값(예, 30)을 초과하는 픽셀을 균열 영역으로 분류하였다. 분리된 이진화 이미지를 바탕으로, 균열 선단의 위치는 균열이 가장 멀리 진전된 픽셀을 육안 검토를 통하여 결정하였고, 계측된 균열 길이는 Table 3에 요약되었다. 본 연구에서는 균열 선단의 위치를 육안으로 판단하였으나, 이를 자동으로 추출하는 방법이 있으며, 예를 들어 세선화(skeletonization) 또는 강도 기울기(intensity gradient) 기반 기법 등이 있다^{(Canny 1986; Lam et al. 1992)}.

Fig. 2 Load–CMOD responses of three concrete specimens under three-point bending, corresponding to partial failure states: (a) CMOD=0.06 mm, (b) CMOD=0.12 mm, and (c) CMOD=0.24 mm

Fig. 3 Representative image-processing procedure for crack detection

3.1 응집영역모델

균열진전해석을 수행하기 위해, 기존 연구에서 제안된 이선형 표면응력-균열폭 관계 기반의 응집영역모델을 적용하였다^{(Roesler et al. 2007; Park et al. 2008)}. 이선형 표면응력–균열폭 관계는 실험으로부터 얻은 재료 물성치를 반영하여 정의할 수 있으며, Fig. 4는 본 연구에서 사용한 이선형 연화 법칙을 나타낸다. 균열폭 $w$의 증가에 따라 표면응력 $\sigma$가 인장강도 $f_{t}'$에 도달한 후 급격히 감소하고, 꺾임점 이후 완만한 연화 구간을 거쳐 최종 균열폭 $w_{f}$에서 완전히 소실되는 형태를 갖는다. 이때 초기 연화 구간의 종료 균열폭 $w_{1}$, 꺾임점에서의 균열폭 $w_{k}$, 그리고 최종 균열폭 $w_{f}$는 각각 다음과 같이 정의된다.

여기서 $w_{cr}$는 초기 균열 발생에 해당하는 인장강도에 도달할 때의 균열폭으로, 수치적 안정성 범위에서 작은 값을 사용한다. 전체 파괴에너지($G_{F}$)는 표면응력–균열폭 곡선 아래의 면적으로 정의되며, 초기 연화 구간에서 소산되는 초기 파괴에너지 $G_{f}$와 이후 잔류 연화 구간에서 소산되는 에너지 $G_{F}-G_{f}$로 구분된다. 기존의 연구에 따르면, 꺾임점 비율($\psi$)과 전체 파괴에너지 대비 초기 파괴에너지 비율($G_{f}/G_{F}$)은 각각 0.15~0.33와 0.3~0.5 범위의 값을 제시하고 있다^{(Bažant 2002; Roesler et al. 2007)}. 균열 선단의 위치는 응력 저감이 급격한 초기 연화 구간의 종료점 $w_{k}$으로 가정하고 실험의 균열 길이와 비교하고자 하였다.

Fig. 4 Schematics of the bilinear softening model

3.2 수치해석 모델링

수치해석적으로 삼점휨시험을 재현하고 파괴 응답을 분석하기 위해 2차원 유한요소 모델을 구성하였다. 모델의 형상은 시험체 치수, 지간 길이 및 초기 균열 선단을 포함하여 모델링하였으며, 지점은 고정 경계조건을 적용하고, 변위제어 경계조건을 통해 하중을 가하였다.

초기 균열 선단에서 수직방향으로 예상되는 균열 진전 경로를 따라 0.3 mm 크기의 응집 요소(cohesive element)를 배치하였다. 이는 해당 재료의 점진적 파괴 과정을 모사하기에 충분히 작은 크기이다^{(Ha et al. 2015)}. Fig. 5에는 해석에 사용된 요소망과 균열 경로를 따라 삽입된 응집 요소를 함께 제시하였다. 해석의 효율성과 결과의 정확성을 동시에 확보하기 위해, 균열과의 상대적 거리에 따라 요소의 형상을 다르게 적용하였다. 이에 따라, 균열과 거리가 있는 외부 영역에는 비정형(unstructured) 요소망을 적용하였고, 균열 주변 영역은 응력 분포와 파괴 거동을 보다 정확하게 표현하기 위해 상대적으로 조밀한 정형(structured) 선형 사각형 요소를 사용하였다.

입력 물성값으로, 인장강도($f_{t}'$)와 파괴에너지($G_{F}$)는 실험으로부터 측정한 값을 사용하였으며, 각각 4.0 MPa, 186 N/m이었다. 추가로 $G_{f}/G_{F}=0.345$, $\psi=0.25$, $w_{cr}/w_{1}=2\times 10^{-5}$로 설정하였으며, 이에 따라 계산되는 이선형 연화법칙 위의 값은 $w_{1}=0.0321\text{ mm}$, $w_{f}=0.276\text{ mm}$, $w_{k}=0.0241\text{ mm}$, 그리고 $w_{cr}=6.42\times 10^{-7}\text{ mm}$로 계산되었다.

Fig. 5 Region used for the extraction of normal traction ahead of the crack tip in the finite element model

3.3 수치 해석 결과

수치 모델의 타당성은 유한요소해석으로부터 얻은 전역 응답을 실험에서 측정된 하중–CMOD 거동과 비교함으로써 평가하였다. Fig. 6에는 수치해석과 실험에서 얻은 하중–CMOD 곡선을 함께 제시하였으며, 균열 길이 비교에 사용된 세 가지 CMOD 수준(0.06, 0.12, 0.24 mm)을 표시하였다. 비교 결과, 수치 모델은 최대 하중과 이후의 연화 구간을 포함하여 실험 응답의 전반적인 경향을 비교적 잘 재현하였다.

Fig. 6 Comparison between numerical and experimental load–CMOD responses at different partial failure stages: (a) CMOD=0.06 mm, (b) CMOD=0.12 mm, and (c) CMOD=0.24 mm

전역 하중–CMOD 응답을 통해 수치 모델의 타당성을 검증한 후, 사전에 정의된 균열 경로를 따라 나타나는 국부 파괴 거동을 분석하였다. 이를 위해 선택된 CMOD 수준에서 균열 경로상의 응집 요소에 작용하는 수직 표면응력(normal traction) 분포를 유한요소해석 결과로부터 산정하였으며, 각 응집 요소의 위치를 균열 경로 좌표와 대응시켜 표면응력 분포를 바탕으로 균열 선단의 위치를 확인하고자 하였다. Fig. 7(a)와 (b)는 각각 CMOD= 0.06 mm에서 시험체 중앙의 균열 경로를 따라 분포하는 수직 표면응력과 이에 대응하는 균열폭 거동을 나타낸다. 수직축은 균열 경로를 따른 수직 방향 위치 y를 의미하며, 초기 균열 선단(y=21 mm)에서 시험체 전체 깊이에 해당하는 y=63 mm까지의 범위를 포함한다(Fig. 1). Fig. 7(a)에는 두 개의 대표 지점을 표시하였는데, 청색 표식은 최대 수직 표면응력이 발생하는 위치를 나타내고, 적색 표식은 이선형 연화 곡선의 꺾임점에 해당하는 위치를 나타낸다. 이선형 연화 곡선과의 비교 결과, 최대 수직 표면응력이 발생하는 위치는 연화 곡선상의 꺾임점과 잘 일치하였다. 이는 수치해석에서 얻어진 최대 표면응력 위치가 균열 선단의 유효 위치를 나타내는 기준으로 활용될 수 있음을 보여주며, 동시에 표면응력–균열폭 관계에서 나타나는 연화 거동의 변화가 실험적으로 관찰된 균열 진전과 밀접하게 연결되어 있음을 보여준다.

균열 선단이 이선형 연화 곡선의 꺾임점에 해당한다는 가정을 추가적으로 검토하기 위하여, 세 가지 CMOD 수준(0.06 mm, 0.12 mm 및 0.24 mm)에서 수직 표면응력(normal traction) 분포를 수치해석 결과로부터 산정하였다. 각 CMOD 수준에 대해 대응되는 유효 균열 길이를 산정하고, 수치해석으로 예측된 균열 길이를 실험 이미지 분석을 통해 계측한 균열 길이와 비교하였다. 그 결과는 Table 4에 정리하였고, Fig. 8의 막대그래프(bar graph)에도 함께 나타내었다. 비교 결과, 수치해석 기반 균열 길이는 실험 계측값과 전반적으로 유사한 경향을 보였으며, 이는 이선형 연화 곡선의 꺾임점을 기준으로 정의한 균열 선단 위치가 실험적 균열 길이를 잘 재현함을 확인하였다.

하지만, 균열 선단을 최대 표면응력 위치로 정의할 경우 CMOD=0.06 mm, 0.12 mm, 0.24 mm에서의 균열 길이는 각각 27.8 mm, 35.6 mm, 39.3 mm로 예측되었으며, 이는 실험적으로 관찰된 균열 길이에 비해 상당히 큰 값을 나타내었다. 또한, 완전 파괴를 기준으로 균열 선단을 정의할 경우, 균열의 길이는 모두 0 mm로 모든 수치해석 결과 완전 파괴(연화 구간의 종료점)가 일어나지 않았다. 따라서 기존 연구에서 제시하는 기준에 따라 균열 선단을 정의하면 실험에서 관찰한 균열 선단 위치를 모사하지 못함을 보여준다.

Fig. 7 Distribution of (a) normal traction and (b) corresponding separation along the crack path at the specimen center for the first partial failure stage (CMOD=0.06 mm). The coordinate y represents the position along the crack path, measured from the initial notch tip (y=21 mm) to the full specimen depth (y=63 mm)

Fig. 8 Comparison between experimentally measured crack length ranges and numerically predicted crack lengths at different CMOD levels

3.4 매개변수 및 요소크기 영향 분석

수치해석적으로 계산된 균열 길이에 대한 응집영역모델의 꺾임점 비율 $\psi$의 매개변수 분석을 수행하였다. CMOD=0.06 mm 조건에서 $\psi$값을 0.15, 0.25, 0.35로 변화시켜 해석을 수행하였으며, Fig. 9(a)는 균열 경로 상의 수직 표면응력의 분포를 나타낸다. 수직 표면응력분포는 대부분 일치하며, 계산된 균열 길이는 각각 4.5 mm, 5.9 mm, 7.4 mm로 나타났다. $\psi$값의 증가에 따라 균열 선단으로 정의되는 위치가 점진적으로 전방으로 이동하였다. 계산된 균열 길이는 실험에서 측정한 균열 길이(5.7~10.7 mm)와 비슷한 범위에 있었다.

추가로, 유한요소해석에서 요소 크기가 결과에 미치는 영향을 분석하였다. CMOD=0.06 mm에서의 균열 길이를 비교하기 위해 0.3 mm, 0.42 mm, 0.6 mm의 세 가지 크기의 응집요소를 사용하여 해석을 수행하였다. Fig. 9(b)는 요소 크기에 따른 균열 경로 상의 수직 응력 분포를 나타내며, 계산된 균열 길이는 각각 5.9 mm, 5.8 mm, 5.8 mm이다. 요소크기에 상관없이 수직 표면응력 분포와 균열 선단 위치는 거의 동일하게 나타났다. 이러한 결과는 점착영역모델 해석 결과의 수렴성과 일관성을 보여준다.

Fig. 9 Distribution of normal traction along the crack path at CMOD=0.06 mm for (a) different values of the cohesive parameter $\psi$(0.15, 0.25, and 0.35) (b) different cohesive element sizes for the case of $\psi$=0.25