3.1 Lubliner-Ottosen strength criterion

Lubliner 항복 함수는 $K_c$를 $2/3$으로 고정하여 사용함에 따라 정수압의 변화에 따른 $\rho_c$, $\rho_t$가 선형적으로 증가하며, 비삼축 구간과 삼축 구간의 연결로 구성된 자오선은 직선 형태로 표현된다. 그러나 콘크리트의 삼축 응력 강도는 정수압 증가에 따라 비선형적으로 증가하므로, 기존 Lubliner 항복 함수는 이러한 특성을 반영하지 못한다^{(Lei et al. 2022)}. 이로 인해 삼축 구간과 비삼축 구간의 경계에서 자오선의 기울기가 급격하게 변화하여 불연속적인 도함수가 되어 유한요소해석 시 미분값을 기반으로 수행되는 반복 계산 알고리즘의 수렴성이 저하된다. 이와 같이 직선형 자오선과 도함수 불연속성은 $\rho_c$, $\rho_t$, $K_c$의 정의 방식 때문에 발생한다.

위와 같은 수치적 한계를 극복하기 위해 ^{Lei et al.(2022)}은 Ottosen 파괴 함수를 도입하여 Table 1의 순서와 같이 $\rho_c$, $\rho_t$ 대신 정수압 함수 $\rho_{co}$, $\rho_{to}$로 형상비 $K_{co}$를 설정하고 불연속 지점을 연결하기 위해 $K_{c,\min}$과 $K_{co,\min}$을 정의하여 수정된 $K_c$(이하 $K_o$)를 도출하였다. 최종적으로 $\rho_{co}$, $\rho_{to}$로 $K_c$와 $\gamma$의 수식 구조를 차용해 매끄럽고 볼록한 파괴면의 구현이 가능한 LOSC 모델을 제안하였다.

그러나 LOSC 모델은 일반 콘크리트를 대상으로 검증된 모델로서 SFRC와 같이 파괴 메커니즘이 변화하는 경우에 대한 적용 근거는 제시되지 않았다. 이에 따라 CM에 해당하는 선행 연구 9건^{(Chern et al. 1993; Pantazopoulou and Zanganeh 2001; Lu and Hsu 2006; Babanajad et al. 2012; Noori et al. 2015; Khan et al. 2018; Wang et al. 2020; Wu et al. 2022)}에서 수집한 192개의 SFRC 삼축 응력 실험 결과를 LOSC 모델과 비교하여 Fig. 3과 같이 나타내었다. 그 결과, CM에서는 정수압이 -2 이하 조건에서의 실험 결과와 자오선의 불일치가 관찰되었다. TM에 해당하는 선행 연구는 ^{Chern et al.(1993)}의 실험 결과 12개로 제한적이었으며 9개의 실험 결과가 자오선과 차이를 보였다.

3.2 SFRC 특성을 반영한 매개변수 수정

LOSC 모델에서 파괴면의 형상은 가변적인 $K_o$와 $\gamma$를 통해 형성되지만, 근본적인 형성 과정은 Table 1과 같이 일축 압축강도 $f_c$, 일축 인장강도 $f_t$, 이축 압축강도 $f_{bc}$와 삼축 응력 실험 결과를 기반으로 한 $x$, $y$와 같은 재료 물성치에 의존한다. $\rho_{to}$, $\rho_{co}$, $K_o$, $\gamma$ 산정 시 정확한 물성치 입력이 중요하지만, $x$, $y$와 $f_{bc}$는 일축 재하 시험만으로 직접 산정하기 어려워 일반 콘크리트 거동에 기반한 값을 사용하고 있다.

삼축 응력 상태에서의 재료 거동을 대표하는 정규화된 좌푯값 $x(=\xi_0=\xi/f_c)$, $y(=\rho_{c0}=\rho_c/f_c)$는 압축 자오선에서 반드시 통과해야 하는 좌푯값이며, 재료가 갖는 자오선 곡률과 형상을 결정한다. LOSC 모델에서는 일반 콘크리트 거동에 기반하여 $(-5, 4)$의 고정된 값으로 사용하고 있다. 이는 정수압이 일축 압축강도의 약 5배 수준이고 등가 전단강도가 약 4배인 상태를 기준으로 Ottosen 파괴 함수의 매개변수를 보정했음을 의미한다.

한편, 원주형 공시체로 확인하기 어려운 이축 압축강도는 $f_{bc} = 1.16f_c$의 일정한 값을 $k_{2c}$와 $\alpha$ 산정에 적용하고 있으며, 이는 자오선과 파괴면 단면 형상을 동시에 규정하여 파괴면 전체 형상을 좌우하는 중요한 요소로 작용한다.

이에 ^{Tran et al.(2025)}은 SFRC의 이축 압축 거동을 일반 콘크리트의 삼축 압축 상태와 유사한 메커니즘으로 해석하고 섬유의 뽑힘 거동으로부터 유도된 잔류 인장강도를 수동적 구속압으로 간주함으로써 강섬유의 혼입률과 형상 특성이 반영된 새로운 이축 압축강도비 식 (3)∼(7)을 제안하였다. 이 식은 강섬유의 물성치로 구성되어 있어 강섬유 혼입으로 인해 바뀌는 콘크리트의 물성 변화를 합리적으로 반영할 수 있다.

이에 따라 본 연구에서는 SFRC 삼축 응력 실험 결과를 근거로 $x$, $y$를 재산정하고, ^{Tran et al.(2025)}이 제안한 SFRC의 이축 압축강도비 식을 $k_{2c}$에 접목하여 LOSC 모델 내에서 SFRC의 파괴 거동을 정확히 구현하고자 한다.

$f_{bc}$: biaxial compressive strength (MPa)

$\sigma_{tu}$: residual postcracking tensile stress (MPa)

$f_c$: uniaxial compressive strength (MPa)

$\eta_l$: fiber length efficiency factor

$L_c$: critical length of fiber (mm)

$\eta_0$: fiber orientation factor, ($= 0.405$)

$V_f$: volume fraction of fibers (%)

$L_f$: fiber length (mm)

$d_f$: fiber diameter (mm)

$\sigma_{fu}$: ultimate strength of fiber (MPa)

$\tau_u$: ultimate bond strength between fiber and concrete matrix (MPa)

4.1 시편 제작 및 시험 방법

본 연구에서는 LOSC 모델에서 압축 및 인장 자오선이 하나의 연속적인 파괴면을 구성한다는 점에 근거하여 ^{Chern et al.(1993)}의 실험 방법을 준용하였다. ^{Hoek and Franklin(1968)}이 개발한 Hoek cell을 사용하여 수행하였으며, 해당 장비의 형상에 따라 100 mm×100 mm×300 mm크기의 콘크리트 블록을 제작하여 드릴링 공법으로 직경 50 mm, 높이 100 mm의 원주형 공시체를 채취하였다.

실제 구조물의 골재 영향을 반영하기 위해 최대 치수 25 mm의 굵은 골재를 사용하였으며, 설계기준 압축강도 24 MPa를 목표로 한 배합비를 Table 2에 나타내었다. 직경 0.5 mm, 길이 30 mm, 인장강도 964 MPa의 후크형 강섬유를 사용하였으며, ACI 544.1R에서 제시하는 섬유 뭉침 현상의 가능성을 고려하여 강섬유 혼입률 0 %, 1.0 %, 1.5 %를 변수로 채택하였다. 구속압은 10 MPa 단위로 설정하였으며 일반 콘크리트(nominal concrete, 이하 NC)의 일축 압축강도의 약 0.5배, 1.0배, 1.5배 및 2.0배 수준인 10 MPa, 20 MPa, 40 MPa, 50 MPa와 장비의 최대 허용치를 고려한 70 MPa로 설정하였다.

실험은 UTM과 구속압 제어용 유압 유닛을 조합하여 수행하였으며 Hoek cell 내부에 공시체를 넣고 작동유를 주입해 횡방향 구속압을 가하고, UTM으로 축방향 응력을 가하였다. 축방향 변형률은 Hoek cell 상단과 바닥을 기준으로 설치된 LVDT를 통해 계측하였다. 하중 재하 절차와 그에 따른 공시체 형상 변화를 Fig. 4에 나타내었다. CTC 실험(Compression–Triaxial Compression, 이하 CM 실험)은 목표 구속압까지 구속압과 축방향 응력을 동일한 비율의 정수압 상태로 증가시킨 후, 구속압을 유지하며 축방향 응력을 추가 재하하여 삼축 압축 상태를 형성하였다. 강도가 일정하게 유지되며 더 이상 증가하지 않는 시점에서 실험을 종료하고, 해당 시점을 삼축 압축강도 $f_{cc}$로 정의하였다.

RTE 실험(Reduced Triaxial Extension, 이하 TM 실험)에서는 목표 구속압 도달 후, 구속압을 유지한 채 축방향 응력 가력 속도를 0으로 설정해 중립 상태로 놓고 인장 지배 상태를 형성하여 응력의 감소를 유도하였다. 이 과정에서 구속압은 축방향 응력보다 큰 상태로 유지되므로 공시체는 구속압에 의해 축 방향으로 인장을 하며 길이가 늘어난다. 일정 변형 수준에 도달하면 응력이 다시 증가하는 구간이 관찰되는데, 1 MPa이 증가하는 시점에서 실험을 종료하였다. 이때 가장 낮은 값의 응력을 단축 인장강도 $f_{tc}$로 정의하였다. 이는 공시체의 신장 능력과 밀접하게 연관되며, TM 실험에서는 공시체가 더 크게 신장될 수록 단축 인장강도가 낮아지는 특성을 가진다.

4.2 실험 결과

UTM으로 일축 가력을 하여 도출된 각 시편의 재료적 특성을 Table 3에 나타내었다. 강섬유가 1.0 % 혼입된 SF1.0에서 압축강도와 변형률이 가장 크게 나타났으나 1.5 %로 증가시킨 SF1.5에서는 SF1.0에 비해 감소하였다. 이는 ^Mohod(2012)가 보고한 바와 같이 강섬유 혼입률이 증가함에 따른 콘크리트의 유동성 저하로 인해 섬유 뭉침 및 불균일한 분포가 발생할 수 있기 때문으로 해석된다.

삼축 응력 실험 결과를 Fig. 5, 6과 Table 4, 5에 정리하여 나타내었다. CM 실험인 Fig. 5에서 10 MPa의 구속압 조건은 삼축 압축강도 도달 후 응력이 급격히 감소하나 구속압이 높아질수록 응력이 완만하게 유지되거나 증가하는 연성 및 경화 현상이 나타났다. Table 4와 5의 CM 실험 결과에서는 일축 압축강도의 증감과 관계없이 강섬유 혼입률이 증가함에 따라 삼축 압축강도가 증가하는 경향을 보였다. 그 외 조건에서는 NC와 SF1.0의 삼축 압축강도 증가비가 유사했고 SF1.5에서 가장 큰 강도 증가비를 보였다. 또한, SF1.0과 SF1.5가 NC에 비해 더 큰 최대 변형률을 보여 강섬유 가교 작용에 의한 전단 저항 및 변형 능력 향상 효과가 뚜렷했다. 반면, 구속압 70 MPa 조건에서는 NC의 강도 및 변형률 증가비가 가장 크게 나타났고 SF1.5의 최대 변형률은 오히려 감소하였다. 이는 일축 압축강도의 약 2배 이상을 받는 높은 구속압 조건에서 외부 구속 효과가 지배적으로 작용하여 강섬유의 기여도가 감소하기 때문으로 해석할 수 있다.

구속압별 TM 실험 결과인 Fig. 6에서 모든 시편은 유사한 초기 강성을 보였다. 특히 구속압 40 MPa 조건에서 단축 인장강도 이후 1 MPa 상승 시의 변형률이 가장 크게 나타났다. 이는 해당 수준에서 균열 진전 억제와 강섬유 인발 방지를 위한 계면 부착력이 확보되어 가교 작용이 가장 효율적으로 발현되기 때문으로 분석된다. 반면, 구속압이 50, 70 MPa로 증가하면 단축 인장강도 이후 변형률이 낮아지는데, 높은 구속 환경으로 인한 외부 구속 효과가 강섬유와 콘크리트 계면에 작용하여 섬유의 인장 변형을 억제함으로써 섬유 본연의 능력을 제한하기 때문으로 판단된다. 결과적으로 40 MPa의 구속압은 강섬유의 인장 성능이 가장 효율적으로 발현되는 구속압인 반면, 그 이상의 높은 구속 조건에서는 섬유의 변형 능력이 제한되는 것으로 판단된다. ^{Chern et al.(1993)}은 TM 실험에서 강도가 점차 낮아지는 경향이 곧 높은 인장 저항 능력을 의미한다고 언급하였다. Table 4와 5에 나타난 TM 실험 결과에서도 강섬유 혼입률 증가에 따라 단축 인장강도가 감소한다. 이는 하중을 중립 상태에 두는 실험 방식에 따라 인장 저항 성능이 지배적으로 작용했기 때문으로 판단된다. 아울러 혼입률 증가 시 단축 인장강도에서의 변형률이 증가하는 경향 역시 강섬유 가교 작용이 효과적으로 발현되었음을 시사한다.

5.1 삼축 좌표 모델 $y(x)$ 제안

본 연구의 실험 결과로 혼입률에 따른 좌푯값 $(x, y)$를 식 (1), (2)를 통해 산출하였으며 $x$변화량에 대한 $y$의 비선형 증가율을 Table 6에 나타내었다. 이러한 비선형적 거동 특성을 반영하기 위해 식 (8)∼(11)과 같은 멱함수 형태의 분석 모델을 제시하였다. 강섬유 혼입률에 따른 재료 물성을 반영한 쪼갬 인장강도 $f_t$와 강섬유 보강 지수 RI를 핵심 변수로 채택하였으며, 이를 통해 강섬유 보강 성능을 정량적으로 예측할 수 있는 회귀식을 도출하였다.

회귀식 (8)의 계수 식 (9)는 구속압 하에서 콘크리트가 발휘하는 전단 저항의 수준을 결정하는 지표이다. 이 식은 NC의 $f_t$를 기준점으로 설정하고, RI 항으로 섬유 보강에 따라 전단 저항 한계를 상승시키는 증폭 변수로 회귀식에 반영되었다. 식 (10)의 지수 $b$는 구속압 증가에 따른 강도 증진의 비선형적 곡률을 결정하는 인자이다. $f_t$는 NC가 보유한 고유의 기울기 변화 특성을 규정하는 기준점 역할을 수행하도록 반영되었으며, RI는 높은 구속 환경에서도 전단 저항력을 유지 및 증대시키는 변수로 조합되었다. 최종적으로 위 특징을 반영해 $x$를 변수로 하는 등가 전단강도 모델 $y(x)$를 제안하였고, Fig. 7을 통해 실험 결과 $y$와 회귀식을 통해 도출된 $y$가 높은 정밀도로 일치함을 확인하였다.

$RI$: steel fiber factor

$V_f$: fiber mixing ratio (%)

$L_f$: fiber length (mm)

$d_f$: fiber diameter (mm)

5.2 TM 보정계수 $\zeta$ 제안

제안된 $y(x)$ 모델은 자오선을 직접적으로 제어하므로 인장 자오선뿐만 아니라 압축 자오선의 형상 또한 상호 연동하여 변화하는 특성을 가진다. 그러나 SFRC의 경우, 섬유의 보강 효과가 인장 저항 능력을 향상시켜 NC와 다른 거동을 보이기 때문에 TM 영역에서의 자오선 예측 정확도를 향상시킬 수 있는 추가적인 보정계수가 필요하다. 특히 실험 결과에서 확인된 바와 같이, 40 MPa 구속압 조건에서는 강섬유와 콘크리트 계면 부착력이 확보되어 가교 작용이 가장 효율적으로 발현되는 반면, 구속압이 50 MPa 이상으로 증가하면 외부 구속 효과가 강섬유와 콘크리트 계면에 작용하여 섬유의 인장 변형을 억제함으로써 섬유 본연의 인발 저항 능력이 제한된다. 이러한 구속압 수준에 따른 가교 작용 변화는 TM 영역에서 $y(x)$ 회귀식만으로 충분히 반영되지 않으므로, 이를 독립적으로 보정할 수 있는 $\zeta$의 도입이 필요하다. 이를 위해 Table 6과 동일한 해석 방식을 적용하여 TM 실험 결과로부터 정규화된 좌표 $(x, y)$ 및 증가율을 Table 7에 나타내었다. 분석 과정에서 도출된 강도보정계수 $\eta_t$는 NC의 물성과 섬유의 보강 효과를 결합하여 TM에서 발생하는 전단 저항 성능의 비선형적 변화를 실제 실험 결과에 부합하도록 조정하는 역할을 한다. $f_t$는 NC 고유의 인장 저항 성능을 규정하는 기준이며, RI 항은 TM의 위치를 상·하 방향으로 이동시키며 인장 저항 능력을 직접적으로 조절하는 변수로 반영되었다. 특히, RI가 0인 조건에서는 섬유 보강 효과가 배제되어 NC 본연의 물성만이 유지되도록 설계하였다. 최종적으로 이러한 보정계수를 식 (12)의 $\zeta$로 통합함으로써 TM 영역의 정밀도를 높일 보정계수를 도출하였으며, 실험 결과 $y$와 $\zeta$를 반영해 도출된 $y$를 Fig. 8을 통해 비교하여 나타내었다.

$RI$: steel fiber factor ($= V_f(L_f/d_f)$)

$f_t$: splitting tensile strength (MPa)

5.3 제안 모델 평가

제안한 $y(x)$ 회귀식과 TM 보정계수 $\zeta$를 적용하여 수정된 자오선을 본 연구의 실험 결과 및 ^{Chern et al.(1993)}의 실험 결과와 비교하여 Fig. 9에 나타내었으며, 이를 통해 모델의 타당성을 검증하였다. 검증 시 사용한 $x$의 값은 Ottosen 파괴 함수와의 비교를 위해 –5로 지정하였다. 그 결과, CM과 TM 영역 모두에서 실험 결과와 일치하는 경향을 보였으며, 특히 기존 LOSC 모델에서 불일치가 관찰되었던 CM 영역에서의 높은 구속 조건과 TM 영역에서의 예측 정확도가 향상되었다. 이는 쪼갬 인장강도, 강섬유 보강지수와 같은 재료 물성의 영향이 $y(x)$ 회귀식과 TM 보정계수 $\zeta$에 적절히 반영되었음을 의미한다.

^{Chern et al.(1993)}의 삼축 응력 실험에서 $x$가 -5일 때, 기존 LOSC 모델과 제안된 회귀식 및 보정계수를 적용하여 수정된 LOSC 모델을 비교한 결과를 편향 응력 평면에 나타내었으며, 그 일부를 Fig. 10에 제시하였다. 기존 LOSC 모델에 적용한 Fig. 10(a)의 경우, 강섬유 혼입률 변화에도 불구하고 NC, SF1.0, SF2.0의 CM, TM 위치의 변화가 없이 겹쳐있는 상태로 나타났다. 반면, 수정된 LOSC 모델에서는 Fig. 10(b)와 같이 강섬유 혼입률이 증가함에 따라 CM과 TM의 위치가 동시에 확장되어 파괴 단면의 면적이 증가함에 따라 파괴 단면의 위치 차이가 뚜렷하게 구분된다. 이는 수정된 LOSC 모델이 강섬유에 의한 인장 저항 효과를 적절히 반영함으로써, ^{Chern et al.(1993)}의 실험에서 관찰된 혼입률별 삼축 압축강도 및 파괴 거동의 차이를 정확히 모사할 수 있음을 보여준다. 결과적으로 본 연구에서 제안한 수정된 LOSC 모델은 기존 LOSC 모델보다 재료 물성치 변화에 대한 예측 정밀도를 향상시킨 것으로 판단된다.

본 연구에서 제안된 회귀식과 보정계수는 KDS 14 20 10^{(KCI 2021)} 기준 보통 콘크리트의 강도 범위 이내, 직선형 및 후크형 강섬유, 강섬유 혼입률 0~2 % 이내, 강섬유 보강 지수 0~0.9 범위 이내의 조건에 한하며, 고강도 콘크리트 또는 나노 섬유 등 상기 범위 외의 조건에서는 추가적인 실험적 검증이 필요하다.