2.1 콘크리트 설계 기준

ACI(2019) 및 KCI(2021) 설계 기준에 따르면 콘크리트 앵커 인발 강도는 선형탄성파괴역학 기반 CCD 방법을 이용하여 콘크리트 파괴를 35° 각도의 피라미드형 파괴로 가정하고, 다음의 식 (1), (2)로 계산한다.

여기서, $N_{cb}$는 콘크리트 파괴에 의한 앵커의 인발 강도이며, $A_{Nc}$와 $A_{Nc0}$는 각각 실제 콘크리트 파괴면적과 CCD 방법을 이용한 정사각형 형상의 기준 파괴면적 ($1.5h_{ef})^2$을 나타낸다. $\psi_{ed,N}$, $\psi_{c,N}$, $\psi_{cp,N}$는 각각 연단거리 영향, 균열 영향, 그리고 후설치(post-installed) 앵커에 대한 보정계수이다. 또한 $N_{b}$는 기준 인발 강도를 의미하며, $k_{c}$는 실험 기반 계수, $\lambda_{a}$는 경량 콘크리트 계수, $f_{c}'$는 콘크리트 압축강도, 그리고 $h_{ef}$는 유효 근입깊이를 나타낸다. 일반 콘크리트와 선설치 앵커를 사용하며 최소연단거리를 만족하였을 경우, 식 (1)의 $N_{cb}$는 식 (3)과 같이 재구성될 수 있다.

하지만 식 (1)과 (3)은 콘크리트의 압축강도와 근입깊이를 중심으로 인발 강도를 산정하므로, 설계식의 적용성을 향상시키기 위해 앵커 헤드 크기^{(Lee et al. 2007; Kim et al. 2016)}, 부재 두께^{(Nilforoush et al. 2017)}, 골재 종류 및 양생 조건^{(Ninčević et al. 2019)} 등 다양한 변수에 대한 실험 연구가 지속적으로 수행되어 왔다.

2.2 콘크리트손상소성모델

콘크리트손상소성모델은 Drucker–Prager 형태의 항복함수와 비연관 유동법칙(non-associated flow rule)을 기반으로 콘크리트의 비선형 거동을 모사하는 모델이며, 소성 변형률(plastic strain)속도 $\dot{\epsilon}_{pl}$과 유동퍼텐셜 함수 $G$의 식은 다음과 같이 구성된다.

여기서, $\sigma$는 응력, $\dot{\lambda}$는 소성 승수(plastic multiplier) 속도를 의미한다. $\partial G / \partial \sigma$는 응력에 대한 유동퍼텐셜 함수의 미분값으로, 항복 이후 소성 변형률이 발생하는 방향을 결정한다. $\bar{p}$와 $\bar{q}$는 각각 평균응력과 등가 전단응력을 나타내며, $\psi_{d}$는 팽창각(dilation angle), $\epsilon$는 유동 함수 이심도(flow potential eccentricity), $\sigma_{t0}$는 인장강도이다. 또한, 항복함수 는 식 (5)와 같이 정의된다.

여기서, $\bar{\sigma}_{\max}$는 최대 주 유효응력, $\bar{\sigma}_{c}$는 유효 압축응력을 의미하며, $<\cdot>$는 Macaulay bracket이다. $\alpha$, $\beta$, $\gamma$는 항복면 형상을 정의하는 계수로, 압축 자오선과 인장 자오선 사이의 응력비를 조절하는 계수($K_{c}$), 이축/일축 압축강도 비($\sigma_{b0}/\sigma_{c0}$) 등에 의해 결정된다.

이러한 모델은 균열을 연속적인 손상 분포로 표현하기 때문에 균열 경로를 사전에 정의하지 않고도 사용 가능하다. 하지만 불연속적인 균열의 거동을 직접 반영하기 어렵고, 팽창각 등의 파라미터는 측정이 어려워 해석 결과에 큰 영향을 미치는 한계를 가진다^{(Kim et al. 2013; Wang et al. 2017; Xie et al. 2020)}.

2.3 응집영역모델

응집영역모델은 균열면에서의 표면응력–균열폭 관계를 기반으로 재료의 파괴 거동을 모사하는 방법이다. 본 해석에서는 균열이 발생할 가능성이 있는 경로에 균열요소(cohesive element)를 내재적으로 삽입하여 균열의 발생과 진전을 모사하였다. 콘크리트의 경우 이중선형연화(bilinear softening) 관계^{(Bažant 2002; Roesler et al. 2007)}가 널리 사용되고 있으며(Fig. 1 참조), 혼합모드 거동을 고려하기 위하여 유효 균열폭(effective separation)을 기반으로 한 표면응력–균열폭 관계를 도입하였다^{(Camacho and Ortiz 1996)}. 이중선형 연화 관계는 유효 균열폭 $\bar{\Delta}$에 따른 유효 표면응력 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

Fig. 1 Schematics of the bilinear softening model

여기서, $f_{t}'$는 인장강도이며, $\bar{\delta}_{cr}$와 $\bar{\delta}_{1}$, $\bar{\delta}_{\psi}$, $\bar{\delta}_{f}$는 각각 인장강도에 도달하는 유효 균열폭, 초기 연화 직선의 절편, 절곡점의 균열폭 및 완전 파괴 시의 유효 균열폭을 의미한다. 인장강도($f_{t}'$)와 전체 파괴에너지($G_{F}$)는 재료 시험을 통해 얻을 수 있는 물리적 물성치에 해당하며, 절곡점 비율(kink point ratio, $\psi$)과 초기 파괴에너지($G_{f}$) 대비 전체 파괴에너지 비율은 참고문헌^{(Bažant 2002; Roesler et al. 2007)}에 따라서 각각 0.15~0.33, 0.3~0.5 사이로 사용할 수 있다. 또한, $\bar{\delta}_{cr} / \bar{\delta}_{f}$의 초기기울기지표는 수치적 안정성을 얻는 범위에서 작은 값으로 사용한다.

CZM은 균열의 발생과 진전을 파괴에너지 기반으로 직접 모사할 수 있으며, 주요 파라미터를 재료 실험으로부터 얻을 수 있다는 장점을 가진다. 반면 균열 경로를 사전에 정의해야 하므로, 실제 균열 경로와 차이가 발생할 수 있는 한계를 가진다.

3.1 실험결과

본 연구에서는 ^{Jeon et al.(2023)}의 단일 콘크리트 앵커 인발 실험 결과를 기반으로 해석을 수행하였다. 콘크리트 앵커 시편은 콘크리트 블록 내부에 근입깊이($h_{ef}$)가 70 mm로 매립된 앵커를 포함하며, 콘크리트 상면의 외곽부를 따라 80 mm를 고정한 상태에서 철근에 인발하중을 가하여 파괴를 관찰하였다(Fig. 2 참조).

서로 다른 양생 조건과 철근 지름을 갖는 두 실험(Set-I, Set-II)을 고려하였으며, 해당 실험의 하중–변위 거동을 Fig. 3에 나타내었다. Set-I는 여름(평균 온도 24.6 ℃)에 타설된 시험체로 상대적으로 높은 콘크리트 강도(48.8 MPa) 및 파괴에너지(214.2 N/m) 값이 측정되었으며, 작은 지름의 철근(6.5 mm)이 사용되어 철근의 소성 거동이 나타난다. 반면 Set-II는 겨울(평균 온도 2.9 ℃)에 타설되어 상대적으로 낮은 압축강도와 파괴에너지 값($f_{c}'$=40.1 MPa, $G_{F}$=134.1 N/m)이 측정되었고, 큰 지름의 철근(9.5 mm)이 적용되어 상대적으로 취성적인 거동이 관찰되었다.

Set-I과 Set-II의 실험 재료 물성은 Table 1에 정리하였으며, 최대 인발 하중은 Set-I과 Set-II 각각 76.3 kN과 51.7 kN으로 관찰되었다. 탄성계수, 압축강도와 간접인장강도는 실린더 실험을 통해 구했으며, 파괴에너지의 경우 삼점휨시험으로부터 Work-of-fracture 방법^{(Hillerborg 1985)}을 통해 얻은 결과이다.

수직변위를 정밀하게 측정하기 위해, Set-I의 실험에서 콘크리트 표면부터의 노출 길이(clear distance, 20 mm)에 임의의 패턴을 이용하여(Fig. 2 참조), 디지털영상보정기법(digital image correlation, DIC)^{(Sutton et al. 1986; Park et al. 2017)}을 이용하였다. Fig. 4에 가력기(Actuator)에서 얻은 변위와 디지털영상보정기법을 통해 얻은 변위값을 비교하였다. 가력기에서 계측된 변위는 앵커 주변 콘크리트 변위만이 아니라, 철근과 그립(grip)간의 미끌림과 같은 하중 전달계 전체의 변형을 포함하기 때문에, 상대적으로 큰 변위 값을 나타냈다. 추가적으로 원점부터 30 kN까지의 값을 통하여 초기 기울기($k$)의 차이를 계산하였으며, 이에 따른 $k_{DIC} / k_{Actuator}$의 값은 약 1.82배였다^{(Jeon et al. 2023)}.

Fig. 2 Geometry of the anchor pull-out (unit: mm)

Fig. 3 Load–displacement responses from experiments

Fig. 4 Experimental load–displacement responses and initial slopes from actuator and DIC (Jeon et al. 2023)

3.2 수치해석 모델

수치해석 모델은 철근을 축으로 하는 축대칭 형상으로 구성하였으며, 콘크리트, 철근, 앵커는 각각 독립적인 재료로 모델링하였다. 또한 철근의 인발 지점은 콘크리트 표면부터의 노출 길이와 전체 철근 길이의 평균값인 55 mm 위치로 설정하였다. 앵커 상단에 인발 하중을 변위 제어 방식으로 적용하였고, 콘크리트 블록의 측면 및 하단은 변형이 제한되지 않도록 자유 경계 조건을 적용하였다. 콘크리트와 앵커 사이의 경계 조건은 하중 상태에 따라 다르게 정의하였다. 압축이 작용하는 영역은 완전 부착 상태로 가정하였으며, 인장 및 전단이 작용하는 영역은 계면의 점착력이 전체 인발 강도에 비해 상대적으로 작은 영향만을 가질 것으로 가정하여 보수적으로 분리된 상태로 단순화하였다. 균열 표현 방식은 적용된 해석 모델에 따라 다르게 정의된다. Fig. 5에 나타낸 바와 같이, CDPM에서는 균열을 개별적인 불연속면으로 표현하지 않고, 재료 내부의 손상 분포를 통해 거동을 모사하는 특징을 가진다. 반면 CZM에서는, 미리 정의된 경로에 삽입된 균열요소를 통해 균열의 발생과 진전을 모사하였다. 본 연구에서는 이러한 균열각을 CCD 방법에서 제시하는 각도인 35°로 사용하였다.

모든 수치해석은 Abaqus(2016)를 이용하여 수행되었다. CDPM 해석은 Abaqus에서 제공하는 재료모델을 사용하였으며, CZM은 사용자 정의 요소(UEL, User Element)를 통해 구현하였다^{(Park and Paulino 2012)}. CZM과 CDPM 해석에 사용된 주요 파라미터는 Table 2에 정리하였다. 인장강도와 파괴에너지는 실험 결과(Table 1)를 기반으로 적용하였으며, 절곡점 비율과 초기파괴에너지비율은 기존 문헌^{(Bažant 2002; Roesler et al. 2007)}을 참고하여 결정하였다. 또한 CDPM에서는 CZM과의 일관된 비교를 위하여 인장 응력–변형률 관계를 이중선형 형태로 정의하였으며, 팽창각과 손상 변수 등의 주요 파라미터를 함께 설정하였다.

Fig. 5 Comparison of failure representation

5.1 인장강도의 영향

Fig. 7과 Fig. 8은 인장강도 변화에 따른 Set-I 및 Set-II의 하중–변위 거동을 나타낸 것이다. 본 해석에서는 실험에서 측정된 인장강도를 기준으로 각각 0.8배, 1.0배, 1.2배를 해석에서의 응집강도(cohesive strength)로 적용하여 인장강도의 영향을 분석하였다. 해석 결과, CDPM과 CZM 모두에서 인장강도가 증가할수록 최대 인발 하중이 증가하는 경향이 나타났다. 동일한 파괴에너지 조건에서 인장강도가 증가하기 때문에, 최대 하중 이후 하중 감소가 보다 급격하게 나타났다.

Fig. 7의 Set-I에서의 CDPM 최대 인발 하중은 각각 59.52 kN, 70.2 kN, 76.8 kN으로 나타났으며, CZM에서의 최대 인발 하중은 각각 72.3 kN, 77.3 kN, 81.1 kN으로 나타났다. Set-I의 경우, CDPM에서는 인장강도를 20 % 증가시킨 경우에도 실험에서 관찰된 철근의 소성 거동이 충분히 재현되지 않는 것으로 나타났다. 반면 CZM에서는 인장강도의 증가에 따라 최대 하중이 증가하였으며, 이에 따라 최대 하중이 철근 항복하중을 넘어설 경우에 철근의 소성 거동이 나타났다.

Fig. 8의 Set-II에서의 CDPM 최대 인발 하중은 각각 50.2 kN, 52.1 kN, 54.9 kN으로 나타났으며, CZM에서의 최대 인발 하중은 각각 50.7 kN, 53.7 kN, 56.3 kN으로 나타났다. 특히 CDPM의 높은 강도 조건에서는 최대 하중 이후 거동을 충분히 재현하지 못하는 것으로 나타났다.

Fig. 7 Effect of tensile strength on computational load–displacement response of concrete anchor pull-out in Set-I

Fig. 8 Effect of tensile strength on computational load–displacement response of concrete anchor pull-out in Set-II

5.2 팽창각의 영향

CDPM 해석에서 팽창각이 인발 거동에 미치는 영향을 확인하고자 5개의 팽창각(5°, 15°, 25°, 38°, 45°)을 이용하여 수치해석을 수행하였다. CDPM 해석 결과에서는 팽창각이 하중–변위 거동에 지배적인 영향을 미치는 것으로 나타났다(Fig. 9 참조). 팽창각이 증가함에 따라 전단 팽창 효과와 콘크리트 내부의 구속 효과가 증가하여 최대 인발 하중이 크게 증가하는 경향을 보였다. 이에 따른 최대 인발 하중은 팽창각이 5°, 15°, 25°, 38°, 45°일 때 Set-I에서 각각 45.94 kN, 48.34 kN, 52.06 kN, 63.62 kN, 73.01 kN, Set-II에서 각각 54.29 kN, 61.54 kN, 70.23 kN, 88.93 kN, 88.92 kN으로 나타났다. Set-I에서 38° 이상의 팽창각을 사용했을 때에 철근의 소성거동을 확인할 수 있었으며, 45°의 팽창각을 사용한 경우, 최대 하중과 최대 하중 이후의 거동을 관찰할 수 없었다. 또한 5.1절의 결과를 참고하면, 인장강도의 변화에 비해 팽창각의 설정에 따라 결과가 크게 달라지는 것으로 나타났다. 이는 CDPM이 사용자 정의 모델 입력 변수에 민감하게 반응하는 특성을 가지는 것을 의미한다. 또한 Abaqus 메뉴얼에서의 팽창각 기본값은 38°로 설정하고 있어, 해당 파라미터의 선택이 해석 결과에 중요한 영향을 미칠 수 있음을 유의하여야 한다.

Fig. 9 Effect of dilation angle on load–displacement response predicted by CDPM

5.3 균열각의 영향

본 연구에서는 CCD 설계 기준에서 가정하는 35°를 기준 균열각으로 설정하였으며, 이는 다양한 실험 결과를 기반으로 제안된 보수적인 콘크리트 파괴각 설계 가정에 해당한다. 또한, 균열각 변화의 영향을 확인하기 위해 30° 및 실험에서 관찰된 평균 균열각(Set-I: 26°, Set-II: 24°)을 함께 적용하였다. 이에 따라 균열각 변화에 따른 하중–변위 거동과 최대 인발 하중의 차이를 분석하였다. 최대 인발 하중은 Set-I에서 26°, 30°, 35° 적용 시 각각 86.6 kN, 82.34 kN, 77.3 kN으로 나타났으며, Set-II에서는 24°, 30°, 35° 적용 시 각각 61.3 kN, 58.4 kN, 53.7 kN으로 나타났다.

Fig. 10에 나타난 바와 같이, 두 세트 모두에서 균열각이 증가할수록 최대 하중은 감소하는 경향을 보였다. 특히 Set-II에서는 균열각이 증가할수록 최대 하중 이후 하중 감소가 보다 급격하게 나타났으며, 작은 균열각에서는 상대적으로 높은 최대 하중과 완만한 연화 거동이 확인되었다. 이는 균열각이 커질수록 파괴면과 하중 전달 영역이 감소하기 때문으로 해석된다.

측정된 균열각의 평균값을 사용하였을 때는 실험값보다 최대하중이 Set-I과 Set-II에서 각각 13.5 %, 18.6 % 높게 나타났으며, 이는 콘크리트재료의 불균질성, 실험 및 균열진전 과정에서의 불확실성, 측정된 국부적 균열각의 넓은 측정 범위(약 0°~50°)에 따른 것으로 예측할 수 있다.

한편 35° 균열각은 실험에서 관찰된 균열각과 차이가 있음에도 불구하고, Set-I과 Set-II 모두에서 최대하중을 비교적 합리적으로 예측하였다. 따라서 균열 경로에 대한 별도의 정보가 없는 경우, CCD에서 제안하는 35°는 인발 강도 평가를 위한 실용적인 기준값으로 활용될 수 있다. 다만 균열각 변화에 따라 최대 하중 이후의 연화 거동과 변위 응답에는 차이가 나타나므로, 전체 하중–변위 거동을 정밀하게 예측하기 위해서는 균열각 설정에 대한 추가적인 검토가 필요하다.

Fig. 10 Effect of crack angle on load–displacement response of concrete anchor pull-out

5.4 요소크기의 영향

사용된 요소 크기의 타당성을 검토하기 위해 요소 크기에 따른 의존성(mesh dependency)을 추가로 확인하였다. CZM의 경우 균열요소 크기를 0.5 mm, 1.0 mm, 2.0 mm로 3개의 요소망을 생성하였으며, CDPM의 경우 균열진전 영역을 대상으로 0.5 mm, 1.0 mm, 2.0 mm, 4.0 mm로 4개의 요소망을 생성하여 수치 해석을 수행하였다. Fig. 11(a)에 나타난 바와 같이, CZM의 경우 요소 크기를 감소시킬수록 하중–변위 거동이 유사한 형태로 수렴하는 경향을 보였으며, 최대 하중 이후 거동 또한 안정적으로 재현되는 것을 확인할 수 있다. Fig. 11(c)는 Fig. 11(a)의 최대 하중 부근을 확대한 결과로, 요소 크기에 따른 차이가 거의 나타나지 않음을 확인할 수 있다.

CDPM의 경우 Fig. 11(b)에서는 요소 크기에 따른 거동이 전반적으로 유사하게 나타나는 것으로 보이나, Fig. 11(d)의 확대 결과를 통해 요소 크기에 따른 차이가 존재함을 확인할 수 있어 수렴성을 확인하지 못함을 알 수 있었다. 특히 매우 작은 요소 크기(0.5 mm)에서는 최대 하중 이후 거동을 관찰할 수 없었다. 이러한 결과는 CZM이 요소 크기에 대해 비교적 수렴하는 경향을 보이는 반면, CDPM은 요소 크기에 따른 민감성이 완전히 제거되지 않음을 의미한다.

Fig. 11 Mesh dependency of load–displacement responses using different element sizes