2.1 충격파 폭발하중의 이상화

본 연구에 사용된 폭발하중은 충격파 형태로 적용하였다. ^{ASCE (2010)}는 폭발 시 발생하는 충격파를 Fig. 1(a)로 제시하고, 이를 이상화한 곡선을 Fig. 1(b)로 정의하였다. 음압($P_{so-}$)은 양압($P_{so}$)에 비해 상대적으로 압력이 낮기에 양압만을 고려하여 폭발파를 삼각형 형태로 이상화한다. 한편, ^{Yang et al. (2024)}은 부재에 등분포하중을 가정하는 것이 일반적이고 근거리 폭발의 경우 부정확한 결과를 초래할 수 있어 신중하게 고려하여야 한다고 하였다.

Fig. 1 Blast wave pressure-time function

2.2 축력을 고려한 등가 SDOF 시스템

SDOF 시스템의 운동 방정식은 식 (1)과 같이 표현된다.

여기서, $M$은 구조 부재의 질량, $\ddot{u}$은 가속도, $K$는 강성, $u$는 변위, $F(t)$는 시간에 따라 변하는 폭발하중을 의미한다. 폭발하중의 지속 시간은 일반적으로 구조물의 고유주기보다 짧으며, 최대 변위는 첫 번째 주기에 나타나기 때문에 폭발해석에서는 감쇠를 고려하지 않는다^{(Liu et al. 2018)}. 균일 단면을 가진 구조부재는 식 (2)와 같이 등가 SDOF 시스템으로 단순화시킬 수 있다^{(Biggs 1964)}.

여기서, $\Phi(x)$는 근사 형상 함수, $K_{M}$은 질량 변환 계수, $K_{L}$은 하중 변환 계수 또는 강성 변환 계수이다. SDOF 시스템의 운동 방정식은 하중-질량 변환 계수를 사용하여 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $K_{LM}$는 하중-질량 변환계수, $K_{LM}= K_{M}/K_{L}$이다.

본 연구에서는 축력을 고려한 비대칭 단면의 SDOF 해석을 위해 공개된 비선형 동적해석 프로그램인 OpenSees ^{(McKenna 1997)}를 사용하였다. 축력을 고려한 SDOF 해석은 축력이 함께 고려된 저항함수를 도출해야 한다. 저항함수는 비선형 푸쉬오버(pushover) 해석을 통해 도출하였다. Fig. 2(a)에 제시된 축력과 횡력을 받는 구조물의 저항함수 도출은 Fig. 2(b)의 arc length method를 사용하였다. Arc length method는 저항력 감소를 나타내는 비선형 거동을 효과적으로 해석할 수 있다. 수정된 뉴턴-랩슨법(modified Newton-Raphson method)을 통해 식 (4a)와 식 (4b)를 만족하는 해를 구하고, 이를 반복적으로 계산하여 축력을 고려한 저항함수를 도출한다^{(Crisfield 1981)}.

여기서, $\Delta u$는 변위의 증분, $\lambda$는 하중 계수, $l$는 arc length, $[K]$는 강성 행렬이다.

축력이 고려된 저항함수는 유효 초기강성, 항복변위 그리고 파괴 시점을 정의해야 한다. ^{Liu et al. (2021)}은 최대 저항값의 75 % 지점을 연결한 선의 기울기를 유효 초기강성으로 정의하였고, 항복 변위는 유효 초기강성 직선과 최대 저항값이 만나는 지점으로 정의하였다. ^{Low and Hao (2002)}은 폭발하중을 고려한 콘크리트 파괴 변형률을 0.0054로 설정하였으며, ^{Angela et al. (2021)}은 저항력이 20 % 감소하는 지점을 부재의 파괴 시점으로 정의하였다. 본 연구에서는 두 파괴 시점 중 먼저 파괴되는 시점을 최종 파괴 시점으로 정의하였다. 이를 바탕으로, Fig. 3(a)에 제시된 삼선형 저항함수를 이용하여 비선형 거동을 단순화하였다.

비대칭 단면은 하중 방향에 따라 다른 저항함수를 보이지만, 기존의 SDOF 해석 방법은 대칭 형태로 저항함수를 정의하는 문제가 있다. 이를 해결하기 위해 OpenSees의 hysteretic material model을 사용하여 Fig. 3(b)와 같이 양의 방향과 음의 방향의 저항함수를 각각 삼선형 저항함수로 단순화하여 정의하였다.

철근콘크리트 부재의 이력 곡선은 하중 재하 및 제하 과정에서 발생하는 콘크리트의 균열로 인해 강성이 변화하게 된다. 강성의 변화 시점은 저항력의 부호가 변하는 순간으로 설정되며, Fig. 4와 같이 비대칭 단면을 가진 철근콘크리트 부재의 이력 곡선 거동이 정의된다.

Fig. 2 Axial load integration method in resistance function

Fig. 3 Definition of resistance function

Fig. 4 Hysteresis curve of resistance function

2.3 축력을 고려한 비대칭 단면의 SDOF 폭발해석 절차

폭발해석 과정은 비선형 푸쉬오버 해석을 통한 저항함수 도출과 등가 SDOF 시스템을 이용한 폭발해석으로 구분된다. 비선형 푸쉬오버 해석에는 다자유도 섬유 단면 보 요소를 사용하였다. 해석에 사용된 보 요소는 OpenSees의 nonlinear beam column 요소이다. 해석 모델은 단일 부재로 구성된 간단한 모델로, 총 10개의 보 요소로 나눴다. 각 노드는 3개의 자유도를 가지며, 섬유 단면은 가로 방향과 세로 방향을 각각 10개로 나누어 총 100개의 섬유 요소를 사용하였다. 콘크리트 재료 모델로는 OpenSees에 구현된 Concrete04 모델을 사용하였으며, 이 모델은 ^{Popovics (1973)}에 의해 개발된 것을 기반으로 한다. 철근의 경우, OpenSees의 Steel01 모델인 이선형 철근 모델을 적용하였다.

저항함수를 계산하는 과정에서 변형률 속도 효과 및 강도 증가 계수(strength increase factor)를 고려하였다. 변형률 속도 효과를 반영하기 위해 동적증가계수(dynamic increase factor)를 사용하였으며, ^{ASCE (2010)}의 동적증가계수와 강도증가계수 값에 따라 콘크리트는 동적증가계수 1.19와 강도증가계수 1.0, 철근은 동적증가계수 1.17, 강도증가계수 1.1을 사용하였다.

비선형 푸쉬오버 해석은 비대칭 단면의 양방향 및 음방향 각각에 대해 수행되며, 해석은 앞에서 정의된 저항함수의 파괴 시점까지 진행된다. 도출된 저항함수와 Table 1에 제시된 변환계수를 사용하여 등가 SDOF 시스템으로 변환 후 비선형 동적해석을 수행한다. 폭발해석 과정에서는 각 단계에서 도출된 변위를 저항함수의 파괴 시점과 비교하고, 이를 초과하는 경우 해석을 종료하며 그렇지 않은 경우 최대 해석 시간까지 계속 진행하였다.

3.1 축력과 폭발하중을 받는 대칭 단면 RC 기둥 검증

^{Woodson and Baylot (1999)}은 Table 2의 대칭 단면 RC 기둥에 대해 최대 축력의 7 % 축하중을 가하여 폭발 실험을 수행하였다. ^{Fang et al. (2021)}은 유한요소해석(LS-DYNA)을 이용하여 Table 3의 폭발하중에 대해 실제 실험과 해석 결과를 비교 검증하였다. 콘크리트 압축 강도는 42 MPa, 철근 항복강도는 450 MPa이고 폭발하중은 7 MPa의 최대 압력과 1.1 MPa-ms의 충격량을 삼각형 형태로 이상화하여 등분포하중으로 적용하였다.

Fig. 5는 기둥 중앙부의 시간에 따른 변위를 실험에서 측정된 결과, ^{Fang et al. (2021)}의 3차원 유한요소해석 결과, SDOF 해석 결과를 각각 나타낸 것이다.

실험에서 측정된 기둥 중앙부의 최대 변위와 영구변위는 각각 12.4 mm, 7.8 mm이다. SDOF 해석 결과 최대 변위와 영구변위는 11.6 mm, 7 mm이고 실험값과의 차이는 7 %, 10 %이다. 실험과 최대 변위, 소성 거동의 전반적인 거동이 유사하여 본 연구의 폭발해석 방법이 타당함을 확인하였다.

Fig. 5 Comparison of blast analysis for symmetric sections

3.2 폭발하중을 받는 비대칭 단면 RC 보 검증

^{Yang et al. (2024)}은 Table 4의 비대칭 단면 RC 보에 대하여 폭발 실험을 수행하였고, 실험 구성은 Table 5와 같다. 콘크리트의 압축 강도는 55.5 MPa, 철근의 항복강도는 490 MPa이다. SDOF 해석을 위한 근거리 폭발하중의 이상화는 어려움이 많지만, 참고문헌에 제시된 바와 같이 25.95 MPa의 최대 압력과 0.173 ms의 하중 지속 시간을 삼각형 형태로 이상화된 등분포하중으로 적용하였다.

Fig. 6은 기둥 중앙부의 시간에 따른 변위를 실험에서 측정한 값과 ^{Yang et al. (2024)}의 유한요소 해석 결과, SDOF 해석 결과를 각각 나타낸 것이다. 실험에 따른 측정된 기둥 중앙부의 최대 변위와 영구변위는 각각 14.5 mm, 13.1 mm이다. SDOF 해석 결과 최대 변위와 영구변위는 12.3 mm, 7.0 mm이고 실험값과의 차이는 18 %와 87 %이다. 최대 변위의 오차는 실험이 근접 폭발 조건에서 수행되었지만, SDOF 해석은 등분포하중으로 이상화하였기 때문에 발생한 것으로 판단된다. 또한, 해석의 이력모델은 콘크리트의 손상으로 인한 제하상태의 강성이 실제와 차이가 있어 최대변위 이후의 영역에서 실제 거동과 차이가 발생하였다. 한편, ^{Yang et al. (2024)} 따르면, 실험과정에서 LVDT가 느슨해지고 단부 지점의 변형으로 인해 실험의 영구변위가 크게 도출되었다고 분석하였다.

Fig. 6 Comparison of blast analysis for asymmetric sections

4.1 대칭, 비대칭 철근 배근에 따른 단면 해석

철근의 대칭, 비대칭 배근에 따른 단면 해석은 ^{UFC 3-340-02(DOD 2008)} 예제에 제시된 Fig. 7의 단면에 대해 수행하였다. 콘크리트의 압축 강도는 28 MPa, 철근의 인장 강도는 455 MPa이다. 단면 해석은 ^{KDS 14 20 20(KCI 2022)}에 제시된 식을 이용하여 공칭 축력과 모멘트를 계산하였다.

Fig. 8은 대칭, 비대칭 단면에 대한 P-M 상관곡선을 나타낸다. 비대칭 단면의 경우 지진과 같이 양방향 하중이 작용할 경우 대칭 단면보다 휨 모멘트 저항력이 감소하는 영역이 존재한다. 하지만, 폭발과 같은 일방향 하중이 작용하는 경우 비대칭 단면의 휨 모멘트 저항력이 증가하여 구조설계 측면에서 유리하다.

축력이 증가함에 따라 대칭 단면과 비대칭 단면의 휨 모멘트의 차이가 감소한다. 인장 지배 영역에서는 인장 측 철근이, 압축 지배 영역에서는 압축 측 철근이 많이 배치된 비대칭 단면이 설계에 유리함을 알 수 있다. 본 연구에서는 대칭 단면과 비대칭 단면의 20 % 휨 모멘트 차이가 발생하는 최대 축력의 10 % 축하중이 작용하는 경우에 대해 비대칭 단면이 폭발 응답에 미치는 영향을 분석한다.

Fig. 7 RC column example for blast analysis

Fig. 8 P-M diagram of RC column example

4.2 휨 저항력과 연성비의 역학적 관계

내폭 설계 지침서인 ^{UFC 3-340-02(DOD 2008)}은 변위 기반의 내폭 성능 평가 방식을 채택하고 있다. 이를 고려하여 휨 저항력 변화에 따른 동적 응답을 평가하기 위해 최대 변위와 연성비를 사용하였다. 저항력과 연성비의 역학적 관계는 직관적인 이해를 위해 동적 영향성을 고려하지 않고, 에너지 관점으로 도출하였다. 역학적 관계 도출을 위해 대칭 단면과 비대칭 단면의 강성이 동일하고, 이선형 저항함수로 가정하였다. Fig. 9(a)는 탄성 영역에서의 대칭 단면과 비대칭 단면의 내력을 나타낸다. 구조물의 변형에너지는 저항함수의 면적을 의미하며, 동일한 폭발 에너지가 가해졌을 때 대칭 단면과 비대칭 단면의 저항함수 면적이 동일해야 한다. 탄성 영역에서는 초기 강성이 동일하기 때문에 구조물의 최대 변위가 동일하며, 연성비 정의에 따라 식 (5a)가 성립한다. Fig. 9(b)는 소성 영역에서의 대칭 단면과 비대칭 단면의 내력을 나타내며, 각 단면의 에너지는 식 (5b)~(5c)와 같다. 에너지 평형에 의해 두 에너지가 동일해야 하며, 식 (5d)와 같이 연성비 관계식이 도출된다. 도출된 휨 저항력과 연성비의 역학적 관계식들을 정리하면, 탄성 영역에서는 두 연성비의 비율은 휨 저항력의 1차식 관계이며, 소성 영역에서는 두 연성비의 비율이 휨 저항력의 2차식 관계로 탄성 영역보다 소성 영역에서 휨 저항력에 의한 연성비의 변화가 크다.

여기서, $\mu_{asym}$는 비대칭 단면의 연성비, $\mu_{sym}$는 대칭 단면의 연성비, $R_{y}$는 휨 저항력의 비율, $y_{m}$는 최대 변위, $y_{e}$는 항복 변위, $E_{sym}$는 대칭 단면의 내적 에너지, $E_{asym}$는 비대칭 단면의 내적 에너지이다.

Fig. 9 Relationship of internal energy and resistance function

4.3 응답 차트에서의 휨 저항력 차이에 따른 연성비 비교

^{UFC 3-340-02(DOD 2008)}은 SDOF 폭발해석에 대한 응답 차트를 제시한다. 응답 차트는 Fig. 10과 같이 이선형 저항함수의 가정을 기반으로 구조물의 고유주기와 폭발하중의 지속 시간 비($t_{d}/T_{n}$), 구조물의 휨 저항력과 폭발하중 크기 비($r_{u}/P$)를 산정하여 구조물의 연성비를 도출하는 차트이다. Fig. 7에 최대 축력의 10 % 축하중이 작용하는 부재는 Fig. 8과 같이 비대칭 단면이 대칭 단면보다 휨 저항력이 1.2배 크다. Fig. 10은 휨 저항력이 1.2배 차이날 때의 응답 차트를 보여준다. 응답 차트에서 실선은 대칭 단면을, 점선은 비대칭 단면을 나타낸다.

동일한 폭발하중이 작용할 때 소성 정도가 커질수록 연성비의 차이가 증가한다. 응답 차트를 통해 휨 저항력과 연성비 사이의 관계에서 동적 하중의 영향성을 확인할 수 있다. 구조물의 고유주기와 폭발하중의 지속 시간 비($t_{d}/T_{n}$)가 클수록 대칭 단면과 비대칭 단면의 연성비 차이가 커진다. 이는 정적 하중에 가까울수록 저항력 변화에 따른 연성비 차이가 커지는 것을 의미한다. Table 6은 응답 차트에서 휨 저항력이 1.2배 차이 나는 대칭 단면과 비대칭 단면의 연성비 변화율을 보여준다. 탄성 영역에서 연성비 변화율은 17 %이며, 소성 영역에서는 최대 58 %, 극소성 영역에서는 최대 67 %에 달한다. 이 결과는 철근의 비대칭 배근이 동적 응답을 감소시키며, 소성 정도가 클수록 동적 응답의 변화가 더 크다는 것을 보여준다.

Fig. 10 Response chart of shock wave pressure

4.4 철근 비대칭 배근에 따른 동적 응답 비교

철근 비대칭 배근에 의한 동적 응답을 비교하기 위해 본 연구에서 제시한 SDOF 해석 방법과 Fig. 7의 단면에 최대 축력의 10 % 축하중을 가력한 부재에 대해 최대 변위와 연성비를 비교하였다. 폭발하중은 ^{UFC 3-340-02(DOD 2008)} 예제의 하중 지속 시간 10.5 ms와 탄성, 소성, 극소성 영역에 해당하는 폭발 압력을 각각 350 kPa, 1,150 kPa, 1,500 kPa로 설정하여 폭발해석을 진행하였다.

비대칭 단면의 고유주기는 15.8 ms, 대칭 단면의 고유주기는 16.2 ms로 계산되었다. 두 고유주기의 차이는 질량은 동일하지만 비대칭 단면이 대칭 단면보다 중립축 기준으로 철근이 많이 배치되어 있어 강성이 크고, 이로 인해 비대칭 단면의 고유주기가 더 작게 도출된다. 대칭 단면을 기준으로 구조물의 고유주기와 폭발하중의 지속 시간 비($t_{d}/T_{n}$)는 0.6이며, 대칭 단면과 비대칭 단면의 항복 변위는 각각 8.4 mm, 8.5 mm이다.

Fig. 11은 소성 정도에 따른 대칭 단면과 비대칭 단면의 시간-변위 그래프이다. 탄성, 소성, 극소성 영역에서 대칭 단면과 비대칭 단면의 최대 변위 차이는 각각 14.3 %, 32.8 %, 36.2 %이다. 이는 비대칭 배근에 의한 휨 저항력 1.2배 증가가 소성 정도가 클수록 구조물의 저항 성능을 증가시키며, 36.2 %까지 내폭 성능을 향상시킨다는 것을 의미한다.

Table 7은 대칭 단면과 비대칭 단면의 소성 정도에 따른 최대 변위와 연성비 차이를 보여준다. 응답차트에서 구조물의 고유주기와 폭발하중의 지속 시간 비($t_{d}/T_{n}$)가 0.6일 때, 연성비 차이는 탄성, 소성, 극소성 영역에서 각각 17 %, 42 %, 48 %이다. 본 연구의 해석 결과와 응답차트는 경향성은 일치하나, 연성비 차이에는 오차가 존재한다. 이 오차는 저항함수의 차이에 기인한다. 응답 차트는 이상화된 이선형 함수를 사용하고, 본 연구에서는 저항함수의 감소까지 고려한 저항함수를 사용하여 결과적으로 더 작은 연성비 차이가 도출된다.

Fig. 11 Dynamic responses obtained by SDOF analysis