3.1 모델 매개변수 보정 방법

유효항복점($\theta_{y},\: M_{y}$)은 Fig. 2와 같이 ^{ASCE 41-23 (2023)}에 따라 결정하였다. 먼저, 횡방향 하중-변위($V-\Delta$) 이력곡선으로부터 첫 번째 사이클 포락선(first-cycle envelope curve)을 구하고 원점과 임의의 항복변위 $\Delta_{y}$를 잇는 직선의 기울기를 $K_{e}$라고 가정한다. 이때, 기울기가 $K_{e}$인 직선과 포락선의 교점의 하중은 $V_{y}$의 60 %이다. 원점과 임의의 항복점$(\Delta_{y},\: V_{y})$, 최대 횡하중 지점을 연결하는 선분이 포락선과 이루는 내부 면적과 외부 면적이 일치할 때까지 $(\Delta_{y},\: V_{y})$값을 조정한다. 이후 횡방향 하중-변위 응답을 모멘트-회전각 응답으로 변환하여 유효항복점($\theta_{y},\: M_{y}$)을 결정하였다. 백본곡선의 캡핑점($\theta_{c},\: M_{c}$)은 최대 모멘트($M_{max}$)가 발생한 지점으로 설정하였다.

백본곡선의 극한점($\theta_{u},\: M_{u}$)과 잔류점($\theta_{r},\: M_{r}$)은 동일 사이클 내에서 변형이 증가함에 따라 하중이 감소하는 현상인 단조 강도 저하(monotonic strength degradation)와 관련이 있다. 하지만 본 연구에서 수집된 실험결과에서 명확한 단조 강도 저하를 보이는 기둥 실험체들은 16개였다. 따라서 실험 이력곡선 상에서 단조 강도 저하의 발생 여부에 따라 극한점, 잔류점 및 $\alpha_{2}$를 보정하였다. 이때, $M_{u}$는 $M_{c}$와 동일한 값을 사용하였다. Fig. 3과 같이 단조 강도 저감이 발생한 경우, 캡핑점 이후 실험결과와 해석결과의 모멘트 강도 차이가 최소가 될 때까지 $\theta_{u}$와 $\alpha_{2}$를 반복적으로 함께 조정하여 보정하였다. 보정된 극한점에서 실험 이력곡선으로부터 구한 음강성을 갖는 직선이 $x$축과 만나는 지점을 잔류점으로 결정하였다. Fig. 4와 같이 단조 강도 저감이 발생하지 않은 경우, ^{Lee and Han (2018)}을 토대로 $\theta_{u}$을 실험결과의 최대 회전각으로 설정 후, 회전각이 $1.1\theta_{u}$이고 모멘트가 영(0)이 되는 지점을 잔류점으로 가정하여 백본곡선을 먼저 정의하였다. 그다음 실험모멘트와 해석모멘트의 차이가 최소가 되게 하는 $\alpha_{2}$를 결정하였다. $\alpha_{2}$는 식 (1)을 통해 강도 저하의 정도를 나타낸다.

여기서, $(M_{max})_{i}$는 $i$번째 사이클의 최대 강도, $(M_{max})_{o}$는 백본곡선의 최대 강도, $E_{i}$는 $i$번째 사이클까지의 누적 이력 에너지, $E_{{monotonic}}$은 백본곡선의 넓이, $\alpha_{n}$은 실험 이력곡선을 적절히 모사하도록 보정되는 모델 매개변수이다. 단조 강도 저하의 발생 여부에 따라 캡핑점 이후 백본곡선의 변동성이 매우 크기 때문에^{(Han et al. 2019)} $\alpha_{2}$ 보정 시 백본곡선의 전체 넓이가 아닌 캡핑점까지의 넓이를 사용하기 위해 식 (2)와 같이 $\alpha_{5}$를 수정하였다. 이때, 줄어든 $E_{{monotonic}}$ 값을 보완하고 $\alpha_{2}$에 따른 해석의 민감도를 낮추기 위해 100을 곱하여 보정하였다.

여기서, $E_{capping}$는 원점에서 캡핑점까지의 백본곡선 넓이이다.

Fig. 2 Determination of effective yield point ^{(ASCE 41-23)}

Fig. 3 Calibration of backbone curve parameters for specimen with monotonic strength degradation

Fig. 4 Calibration of backbone curve parameters for specimen without monotonic strength degradation

3.2 모델 매개변수 보정 결과

Fig. 5는 모델 매개변수의 보정 결과를 나타낸다. 백본곡선의 회전각은 각 지점 사이의 회전각의 차이로 표현하였다. $\theta_{1}$은 유효항복점 회전각($\theta_{y}$), $\theta_{2}$는 캡핑점과 유효항복점의 회전각 차이($=\theta_{c}-\theta_{y}$), $\theta_{3}$는 극한점과 캡핑점의 회전각 차이($=\theta_{u}-\theta_{c}$), $\theta_{4}$는 잔류점과 극한점의 회전각 차이($=\theta_{r}-\theta_{u}$)를 나타낸다. 이때, $\theta_{3}$와 $\theta_{4}$는 실험 중 단조 강도 감소 현상이 명확히 발생한 16개의 기둥 시편에 관한 결과이다. $\tau_{y}/f_{c}$와 $\tau_{c}/f_{c}$는 백본곡선의 $M_{y}$와 $M_{c}$를 각각 전단응력($\tau_{y}=M_{y}/(A_{g}a)$, $\tau_{c}=M_{c}/(A_{g}a)$)으로 변환 후 콘크리트 압축강도($f_{c}$)로 나눈 값이다. $\alpha_{2}$는 실험결과 이력곡선에서 최대 모멘트 도달 이후 10 % 이상 강도 감소가 발생한 88개의 기둥 시편에 관한 결과이다.

Fig. 5 Histograms of calibrated model parameters

4.1 회귀분석 방법

임의의 중공 철근콘크리트 기둥에 대한 집중소성모델 매개변수를 예측할 수 있는 방정식을 제안하기 위해 보정된 모델 매개변수와 기둥의 설계 매개변수 사이의 관계를 회귀분석을 통해 추정하였다. 중공 철근콘크리트 기둥의 비선형 이력거동에 영향을 주는 10개의 설계 매개변수($C_{s}$, $a/h$, $t/h$, $s/h$, $b/h$, $f_{y}/f_{c}$, $f_{yt}/f_{c}$, $P/A_{g}f_{c}$, $\rho_{l}$, $\rho_{t}$)를 입력변수로 활용하였다. 집중소성모델 매개변수 예측에 주로 사용되는 곱의 형태인 예측식^{(Lignos and Krawinkler 2011; Haselton et al. 2016)}의 양변에 자연로그를 취하여 식 (3)과 같이 선형함수로 변환한 뒤 다중 선형 회귀분석을 수행하였다.

여기서, $X=\ln(x)$, $Y=\ln(y)$, $x$는 설계 매개변수를, $y$는 모델 매개변수를 나타내며, $\hat{\beta}$는 회귀계수를 나타낸다. 회귀분석 시 과적합(overfitting)을 예방하기 위해 설계 매개변수로 구성할 수 있는 1,023개의 입력변수 조합을 토대로 각 모델 매개변수에 대해 leave-one-out 교차검증을 수행하였다. 각 입력변수 조합에 대해 (1) 예측 정확도를 위해 낮은 평균 제곱 오차(mean squared error, MSE)와 높은 결정계수($R^{2}$) 값을 가지고, (2) 예측식의 사용 편이성을 위해 선택된 입력변수의 수가 적으며, (3) 선택된 입력변수가 모델 매개변수와 적절한 상관관계를 가지는 조합 중에 최종 예측식을 선정하였다.

4.2 회귀분석 결과

회귀분석을 통해 도출된 회귀계수는 Table 1에 제시하였으며, 보정된 모델 매개변수 값과 예측된 값 간의 비교 결과는 Fig. 6에 나타내었다. $\theta_{4}$를 제외한 나머지 모델 매개변수의 $R^{2}$값은 0.48~0.90으로 나타났으나, $\theta_{4}$의 $R^{2}$값은 0.34로 다소 낮게 나타났다. 이는 단조 강도 저하가 발생한 시편 수가 적어 콘크리트의 압축파괴, 전단파괴, 축방향 철근의 좌굴 등 다양한 원인에 의해 발생하는 단조 강도 저하 현상^{(FEMA 2008)}을 정확하게 예측하는 데에 상대적으로 어려움이 있기 때문이다.

Fig. 6 Comparison of predicted and calibrated model parameters

4.3 모델링 기법에 따른 예측결과 비교

개발된 집중소성모델 매개변수 예측식과 기존의 분산소성모델을 사용하여 OpenSees를 통해 각각 모사된 이력거동을 실험결과와 비교하였다. 분산소성모델은 ^{Liang et al. (2015)}이 중공단면의 특성을 반영하기 위해 ^{Mander et al. (1988)}의 구속 콘크리트 재료 모델을 토대로 수정하여 제안한 방법과 ^{Sezen (2002)}의 축방향 철근 슬립 모델을 적용하였다. 각 모델링 방법으로 모사된 해석결과에 대해 초기 강성($K_{i}$), 최대 모멘트($M_{max}$) 및 포락선 넓이($A_{env}$)를 계산하고 그 값을 실험결과로부터 구한 값과 비교하였다. 해석결과로부터 구한 값인 $X_{sim}$과 실험결과로부터 구한 값인 $X_{exp}$의 비($X_{sim}$$/X_{exp}$)의 평균과 표준편차를 계산하여 Table 2에 나타내었다. 초기 강성은 3.1절과 동일하게 계산된 유효항복점과 원점 사이의 기울기이다. 포락선 넓이는 원점부터 최대 회전각까지의 포락선 내부 면적으로 강도 저하 정도를 비교하기 위해 계산되었다. 제안된 예측식을 사용한 집중소성모델(LPM)이 분산소성모델(DPM)에 비해 대체적으로 $X_{sim}$$/X_{exp}$의 평균이 1에 가깝고 표준편차가 작아 더 높은 예측 정확도를 보였다. 제안된 예측식을 사용한 LPM으로 모사된 해석결과의 초기 강성, 최대 모멘트 및 포락선 넓이는 실험결과와 평균적으로 약 1~9 %의 차이를 보이며 전반적으로 적절히 모사되었다. 반면, DPM의 해석결과는 실험결과에 비해 초기 강성은 평균적으로 약 48 % 크게 모사하였으며 포락선 넓이는 약 12 % 크게 모사하였다. 초기 강성과 포락선 넓이는 DPM이 LPM보다 평균적으로 각각 1.38배, 1.14배 더 크게 예측하였다. 최대 모멘트의 경우 DPM의 $X_{sim}$$/X_{exp}$ 평균이 1에 더 가까우나, 취성적인 거동을 하는 실험체에 대해 최대 모멘트를 크게 예측하는 경우가 발생하며 LPM보다 표준편차가 1.79배 크게 나타났다.

Fig. 7과 Fig. 8은 각각 집중소성모델(LPM)과 분산소성모델(DPM)을 통해 모사된 기둥의 비선형 이력곡선을 실험결과와 비교한 것이다. Fig. 7은 실험결과에서 단조 강도 저하가 발생한 실험체 P3^{(Cassese 2017)}에 대해 비교하였다. LPM은 실험결과에서 단조 강도 저하가 발생하기 시작한 0.0135 rad과 유사한 회전각인 0.014 rad에서 단조 강도 저하를 모사하며 최대 회전각에서 실험결과와 강도 차이가 약 2 %로 매우 작게 나타났다. 반면, DPM은 단조 강도 저하가 구현되지 않아 최대 회전각에서의 강도가 실험결과보다 약 2.2배 크게 나타났다. Fig. 8은 실험결과에서 단조 강도 저하가 발생하지 않은 실험체 P5^{(Cassese 2017)}에 대해 비교하였다. 각 사이클에서 실험결과와 해석결과의 강도차이가 평균적으로 LPM이 14 %, DPM이 30 %로 나타났다. 이는 DPM이 LPM에 비해 강도 저하 및 에너지 소산 능력 감소와 같은 부재의 반복손상을 구현하는 데 어려움이 있기 때문이다.

Fig. 7 Comparison of simulated and experimental responses of specimen with monotonic strength degradation

Fig. 8 Comparison of simulated and experimental responses of specimen without monotonic strength degradation

5.1 교량 수치해석 모델

본 절에서는 제안된 집중소성모델 매개변수 예측식을 중공단면 기둥이 사용된 교량 모델에 적용하여 기둥의 설계 매개변수에 따른 지진취약도를 비교하였다. 사용된 교량은 Fig. 9에 나타난 3경간 프리스트레스트 콘크리트 박스 거더교로, 단면 높이 5 m, 폭 3.8 m, 두께 0.8 m의 사각형 중공단면을 갖는 단주형 교각으로 구성되어 있다. 기둥은 설계기준 압축강도 50 MPa인 콘크리트와 항복강도 500 MPa인 축방향 및 횡방향 철근으로 이루어져 있다. 축방향 철근은 외측에 132개의 D35, 내측에 100개의 D32이 배근되었으며, 횡방향 철근과 보강띠철근(cross-tie)은 각각 D22, D13이 사용되었다. 상부구조와 기둥은 일체형으로 연결되어 있으며, 교대에는 항복강도 78 kN, 초기 강성 30 MN/m인 탄성받침이 상부구조를 지지하고 있다. 교각부의 기초 저면은 지면으로부터 2.3 m 높이에 위치하며 말뚝기초로 지지되고 교대부는 직접기초로 지지된다.

교량 수치해석 모델은 Fig. 10과 같이 OpenSees를 통해 3차원 모델로 구현되었다. 교량의 상부구조는 단면 특성을 반영한 탄성 보-기둥 요소(elastic beam-column element)로 모델링하였고, 교량받침은 탄성받침의 특성을 반영하여 이선형(bilinear) 재료 모델을 적용한 스프링 요소(zero-length spring element)로 모델링하였다. 상부구조와 교대 사이의 신축이음에서 발생하는 충돌(pounding) 거동은 ^{Muthukumar and DesRoches (2006)}이 제안한 모델링 방법에 기반하여 유간(gap)을 갖는 이선형 압축 스프링 요소로 모델링하였다. 교대의 뒤채움부(backfill)의 거동은 ^{Shamsabadi et al. (2010)}의 방법을 활용하였고, 직접기초의 수평 방향에 대한 저항력은 기초 바닥과 지면 사이의 마찰계수를 통해 탄성 스프링으로 모델링하였다^{(Mangalathu 2017)}. 중공 기둥의 경우, 교축방향으로 라멘 거동을 하고 교축직각방향으로는 켄틸레버 거동을 한다고 가정하여, 교축방향에 대해서는 비선형 회전스프링을 기둥의 양단에 배치하였고 교축직각방향에 대해서는 회전스프링을 기둥의 하단부에만 배치하였으며 기둥의 양단은 탄성 보-기둥 요소로 연결하였다. 말뚝기초가 사용된 교각 기초는 변위법(도로교설계기준 해설, ^{KSCE 2008)}에 기반하여 개별 말뚝의 축방향 및 횡방향 스프링 정수를 산정하고, 이를 기반으로 말뚝군의 강성을 계산하여 선형탄성거동을 하는 횡방향 및 회전 스프링으로 모델링하였다.

Fig. 9 Bridge configuration

Fig. 10 OpenSees numerical model for each bridge component

5.2 설계 매개변수에 따른 중공단면 교각의 지진취약도 분석

중공 철근콘크리트 기둥의 주요 설계 매개변수 중 전단경간길이($a$), 단면 두께($t$), 횡방향 철근의 중심간격($s$), 축방향 철근비($\rho_{l}$), 횡방향 철근비($\rho_{t}$)의 변화에 따른 교각의 지진취약도 곡선을 비교하였다. 본 연구에서 수집된 데이터베이스로부터 각 설계 매개변수의 16 %, 50 %, 84 % 백분위수($P_{16}$, $P_{50}$, $P_{84}$)에 해당하는 값을 선정하여 Table 3에 제시하였다. 이를 바탕으로 각 매개변수의 값만을 개별적으로 변화시켜 총 15가지 경우에 대해 교량 수치해석 모델을 구성하였다.

^{FEMA P695 (2009)}에서 제시한 44개의 원거리 지반운동을 사용하여 교량이 더 취약한 거동을 보이는 교축직각방향에 대해 비선형 시간이력해석을 수행하였다. 각 지반운동의 최대지반가속도(peak ground acceleration, PGA)가 0.2 g부터 2.0 g까지 0.2 g씩 증가하도록 스케일링하였다. 지반운동의 세기(intensity measure)는 PGA를, 구조응답변수(engineering demand parameter)는 최대 변위비를 사용하여 손상상태에 대한 취약도 곡선을 도출하였다. 본 연구에서는 ^{Delgado et al. (2017)}가 사각형 중공단면을 갖는 기둥에 대해 제안한 네 단계의 손상상태를 사용하였다. 각 단계는 한계상태로 구분되며, 이는 경미한 손상(slight, LS1), 중간 손상(moderate, LS2), 심각한 손상(extensive, LS3), 붕괴(collapse, LS4)이고, 한계상태 변위비는 순서대로 0.71 %, 1.21 %, 2.14 %, 3.21 %이다. ^{Baker (2015)}가 제안한 최대우도법을 사용하여 PGA마다 교량 기둥의 최대 변위비가 한계상태 변위비를 초과할 확률을 계산하여 지진취약도 곡선을 도출하였다.

설계 매개변수 값의 변화에 따라 각 손상상태에서 중공단면 교량 기둥의 지진취약도 곡선의 중앙값의 변화율을 비교하였다. 여기서 지진취약도 곡선의 중앙값은 손상확률이 50 %일 때 PGA 값을 나타낸다. 그 결과, 횡방향 철근의 간격, 횡방향 철근비의 값이 변하더라도 모든 손상상태에 대해 지진취약도 곡선의 중앙값은 6 % 미만의 미소한 차이를 보였다. 과거 실험연구^{(Kim 2012; Lee et al. 2015)}에서도 횡방향 철근이 중공 철근콘크리트 기둥의 하중-변위 응답에 큰 영향을 미치지 않은 것을 확인할 수 있다. 반면, 전단경간길이, 축방향 철근비, 단면 두께의 값이 변함에 따라 지진취약도 곡선에서 차이가 나타났으며, 해당 결과를 Fig. 11에 제시하였다. 모든 손상상태에 대해 지진취약도 곡선의 중앙값은 전단경간길이가 증가할수록 약 12~25 % 증가하였고 축방향 철근비가 증가할수록 약 3~15 % 증가하였으며, 단면 두께가 증가할수록 약 7~14 % 증가하였다. 이는 전단경간비가 클수록 중공 철근콘크리트 기둥의 연성 능력이 향상되고^{(Cassese et al. 2017)} 축방향 철근비가 증가할수록 중공 철근콘크리트 기둥의 휨 강도가 향상되기 때문이다^{(Lee et al. 2015)}. 중공 철근콘크리트 기둥은 단면 두께가 클수록 연성적인 거동을 보이지만^{(Zhan et al. 1990)}, 본 연구에서는 단면 두께가 증가함에 따라 축방향 철근비가 감소한 것이 원인으로 보인다.

Fig. 11 Fragility curves for hollow bridge columns